平均值（量子力学）
我们先来回顾测量理论．假设某个物理量 $Q$ 有离散的本征态 $ \left\lvert \phi_i \right\rangle $（$i = 1,2\dots$），对应的本征值为 $q_i$，满足
\begin{equation}
Q \left\lvert \phi_i \right\rangle = q_i \left\lvert \phi_i \right\rangle
\end{equation}
且满足正交归一条件
\begin{equation}
\left\langle \phi_i \middle| \phi_j \right\rangle = \delta_{i,j}
\end{equation}
记粒子处于 $ \left\lvert \psi \right\rangle $ 状态，可表示为本征态的线性组合
\begin{equation}
\left\lvert \psi \right\rangle = \sum_i c_i \left\lvert \phi_i \right\rangle
\end{equation}
对其测量 $Q$，得到第 $q_i$ 的概率为
\begin{equation}
P_i = \left\lvert c_i \right\rvert ^2 = \left\lvert \left\langle \phi_i \middle| \psi \right\rangle \right\rvert ^2
\end{equation}
现在我们可以定义 $Q$ 的平均值为
\begin{equation}
\left\langle Q \right\rangle = \sum_i P_i q_i = \left\lvert c_i \right\rvert ^2 q_i
\end{equation}
这意味着，如果我们取大量处于 $ \left\lvert \psi \right\rangle $ 状态的系统，分别测量 $Q$ 再取平均，结果就是该式．
平均值还有一个更常见的公式，与eq. 5 等效．
\begin{equation}
\left\langle Q \right\rangle = \left\langle \psi \middle| Q \middle| \psi \right\rangle
\end{equation}
要验证，可以将
eq. 3 代入该式，得
\begin{equation}
\begin{aligned}
\left\langle Q \right\rangle &= \left(\sum_i c_i^* \left\langle \phi_i \right\rvert \right) Q \left(\sum_j c_j \left\lvert \phi_j \right\rangle \right) \\
&= \sum_{i,j} c_i^* c_j \left\langle \phi_i \right\rvert Q \left\lvert \phi_j \right\rangle
\end{aligned}
\end{equation}
再代入
eq. 1 和
eq. 2 得
\begin{equation}
\left\langle Q \right\rangle = \sum_{i,j} c_i^* c_j q_i \left\langle \phi_i \middle| \phi_j \right\rangle
= \sum_{i,j} c_i^* c_j q_i \delta_{i,j} = \sum_i \left\lvert c_i \right\rvert ^2 q_i
\end{equation}
证毕．