柯西—施瓦茨不等式
$\mathbb C^N$ 空间
对 $\mathbb C^N$ 空间，有
\begin{equation}
\left\lvert \sum_i^N u_i^* v_i \right\rvert ^2 \leqslant \sum_j \left\lvert u_j \right\rvert ^2 \sum_k \left\lvert v_k \right\rvert ^2
\end{equation}
内积空间
内积空间中任意两个矢量满足柯西不等式
\begin{equation}
\left\lvert \left\langle u \middle| v \right\rangle \right\rvert ^2 \leqslant \left\langle u \middle| u \right\rangle \cdot \left\langle v \middle| v \right\rangle
\end{equation}
证明
我们使用勾股定理来证明．令 $u$ 在 $v$ 方向的投影为 $x$，在 $v$ 垂直方向的投影为 $y$，即
\begin{equation}
x = \frac{ \left\langle v \middle| u \right\rangle }{ \left\langle v \middle| v \right\rangle } v \qquad y = u - x
\end{equation}
容易证明 $u = x + y$ 且 $ \left\langle x \middle| y \right\rangle = 0$．这样就可以使用勾股定理
eq. 8
\begin{equation}
\left\langle u \middle| u \right\rangle = \left\langle x \middle| x \right\rangle + \left\langle y \middle| y \right\rangle \geqslant \left\langle x \middle| x \right\rangle = \frac{ \left\lvert \left\langle u \middle| v \right\rangle \right\rvert ^2}{ \left\langle v \middle| v \right\rangle }
\end{equation}
两边乘以 $ \left\langle v \middle| v \right\rangle $，得
eq. 2 ．特殊地，不难证明当且仅当 $u, v$ 共线时 $y = 0$，即 $ \left\langle y \middle| y \right\rangle = 0$，不等式取等号．证毕．