连续叉乘的化简
几何矢量的连续两个叉乘的化简也叫 BAC-CAB 定理
\begin{gather}
\boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times ( \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{C}} ) = \boldsymbol{\mathbf{B}} ( \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{C}} ) - \boldsymbol{\mathbf{C}} ( \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} )\\
( \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{C}} ) \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{A}} = \boldsymbol{\mathbf{C}} ( \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} ) - \boldsymbol{\mathbf{B}} ( \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{C}} )
\end{gather}
要证明这个定理可以将每个叉乘在各个基底上展开（eq. 13 ）．
这里对连续叉乘的几何意义略作说明，可以用于理解该公式的结构．以eq. 1 为例，根据叉乘的几何意义我们知道 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{C}} $（命名为 $ \boldsymbol{\mathbf{D}} $）方向垂直于 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{C}} $ 所在平面．又因为 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{D}} $ 垂直于 $ \boldsymbol{\mathbf{D}} $，所以最终的矢量再次落到 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{C}} $ 所在平面上，所以等式右边是 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{C}} $ 的线性组合．
下面来介绍一种简单的记忆方法，括号外的矢量在哪边，括号内靠近那边的矢量所在的项前面就是正号，另一项前面则是负号，如fig. 1 所示．
Fig. 1：三矢量叉乘的化简