我们定义以下运算
\begin{equation}
( \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} ) \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{C}}
\end{equation}
为矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} , \boldsymbol{\mathbf{B}} , \boldsymbol{\mathbf{C}} $ 的
混合积，即 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 先做叉乘，然后再把得到的矢量与 $ \boldsymbol{\mathbf{C}} $ 做内积（点乘）
．注意即使我们把括号去掉这个表达式也没有歧义，因为叉乘只能在矢量之间进行，而点乘的结果是标量．混合积满足
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{C}} = \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{C}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{A}} = \boldsymbol{\mathbf{C}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{B}}
\end{equation}
这个公式可由
fig. 1 记忆．
图中箭头的方向由叉乘的方向（顺时针或逆时针）决定，与内积无关，即 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{C}} = \boldsymbol{\mathbf{C}} \boldsymbol\cdot ( \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} )$．如果混合积的顺序取与箭头相反的方向，根据叉乘的性质，需要在前面加上负号（叉乘不满足乘法交换律）．eq. 2 与eq. 3 互为相反数
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{C}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{A}} = \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{C}} = \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{C}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{B}}
\end{equation}
注意即使将混合积省略括号记为 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{C}} $ 或者 $ \boldsymbol{\mathbf{C}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 也应该理解为先叉乘后内积．$ \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times ( \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{C}} )$ 没有定义，因为矢量不能叉乘标量．
几何法证明
Fig. 2：矢量混合积的几何意义
如fig. 2 ，以三个矢量为棱作平行六面体．由exer. 1 可知 $ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} \right\rvert $ 就是 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} , \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 所在平行四边形的面积．令 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} = \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} \right\rvert \hat{\boldsymbol{\mathbf{n}}} $，则 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{n}}} $ 为平面的法向量，平行六面体的高为 $ \left\lvert \hat{\boldsymbol{\mathbf{n}}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{C}} \right\rvert $，所以平行六面体的体积等于底面积乘以高
\begin{equation}
V = \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} \right\rvert \left\lvert \hat{\boldsymbol{\mathbf{n}}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{C}} \right\rvert = \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{C}} \right\rvert
\end{equation}
同理可得对于同一平行六面体
\begin{equation}
V = \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{C}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{A}} \right\rvert = \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{C}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} \right\rvert
\end{equation}
这里只证明了
eq. 2 的绝对值，要证明正负号，定义 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{n}}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{C}} < 0$ 时 $V$ 为负值即可．
代数法证明
不难证明三矢矢积若展开成分量的形式，等于三个矢量组成的行列式
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{C}} = \begin{vmatrix}
A_x & A_y & A_z\\
B_x & B_y & B_z\\
C_x & C_y & C_z\end{vmatrix}
\end{equation}
而利用行列式中任意两行置换符号改变，即可证明
eq. 2 ．
