无限深势阱中的高斯波包

Prerequisite　无限深势阱，高斯波包，薛定谔方程

　　本文中我们来计算无限深势阱中一个高斯波包的运动．定性来说，波包会一边移动一边扩散（变宽变矮），且在两个势阱壁之间来回反弹．反弹的过程中会发生干涉．

　　结果如fig. 1 和fig. 2 ，动画见百科互动演示．

Fig. 1：束缚态概率分布，$x$ 轴为束缚态的 $n$，$y$ 轴为概率，求和约等于 1

Fig. 2：波包遇到势阱壁后发生反弹，过程中发生干涉

计算

　　本文使用原子单位制，并假设粒子质量为 1．假设无限深势阱的区间为 $[0, L]$，能量的本征波函数（本征态）为（eq. 4 ）

\begin{equation} \psi _n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left(k_n x\right) \end{equation}

\begin{equation} k_n = \frac{n\pi }{L} \end{equation}

能量的本征值为

\begin{equation} E_n = \frac{k_n^2}{2} \end{equation}

要计算波函数接下来的变化，用能量本征态展开波函数即可（eq. 10 ）．初始时波函数为高斯波包（eq. 1 ）

\begin{equation} \psi (x,0) = \frac{1}{(2\pi \sigma _x ^2)^{1/4}} \mathrm{e} ^{-(x - x_0)^2/(2\sigma _x)^2} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} k_0x} \end{equation}

　　第一步是把初始波函数投影到能量本征态上

\begin{equation} C_n = \int_0^L \psi _n^*(x) \psi (x,0) \,\mathrm{d}{x} = \int_0^L \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left(k_n x\right) \psi (x,0) \,\mathrm{d}{x} \end{equation}

那么接下来，波函数的演化可以表示为

\begin{equation} \psi (x,t) = \sum _{i=0}^N C_i \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} E_n t} \psi _n(x) \end{equation}

注意在数值计算中 $N$ 不能取 $+\infty$，而是一个有限值，这将会带来截断误差．为了保证结果正确，需要使被截去的部分在总波函数中的概率忽略不计，即 $\sum_{i=N+1}^\infty \left\lvert C_i \right\rvert ^2 \ll 1$．在fig. 1 中可以看到 $N$ 至少要大于 80 左右才能不产生过大的的截断误差．由于高斯波包的频谱是指数衰减的，所以随着 $N$ 继续增大，截断误差也会指数减小．我们把计算结果随 $N$ 变大而趋于固定的过程叫做计算的收敛．

　　若我们假设初始波包宽度足够小，使得波函数在势阱外的函数值可以忽略不记，则eq. 5 的定积分可以拓展到无穷区间，即傅里叶变换．我们已经知道初始高斯波包（指数）傅里叶变换的结果为eq. 2

\begin{equation} g(k) = \frac{1}{(2\pi \sigma _p^2)^{1/4}} \mathrm{e} ^{-(k - k_0)^2/(2\sigma _k)^2} \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} x_0(k - k_0)} \end{equation}

将正弦函数记为指数的形式为

\begin{equation} \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left(k_n x\right) = \mathrm{i} \sqrt{\frac{\pi }{L}} \left(\frac{ \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} k_n x}}{\sqrt{2\pi }} - \frac{ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} k_n x}}{\sqrt{2\pi }} \right) \end{equation}

所以eq. 5 变为

\begin{equation} C_n = \mathrm{i} \sqrt{\frac{\pi }{L}} [g(k_n) - g(-k_n)] \end{equation}

代入eq. 6 即可．