拉普拉斯方法

             

Prerequisite　极值，积分换元，高斯积分，渐近展开， Gamma 函数

　　 在分析数学中，拉普拉斯方法是一种计算含参数积分的渐近展开式的办法．所考察的积分一般具有如下形式：

\begin{equation} I(t)=\int_a^b \phi(x) \mathrm{e} ^{t f(x)}dx, \end{equation}
其中 $\lambda$ 是正的实参数．要考察当 $t\to+\infty$ 时积分的行为．拉普拉斯方法背后的想法很简单：如果函数 $f$ 在某点处达到极大值，那么当 $t$ 很大时，只有极大值点附近的贡献才比较可观，其余部分相比起来都要小得多．

Watson 引理

　　 拉普拉斯方法基于 Watson 引理．它本身也是很有用的．

Lemma 1　Watson 引理

　　 设 $\alpha > 0$，函数 $\phi(x)$ 在区间 $[0,b]$ 上连续，而且 $x\to0$ 时有渐近展开 $$ \phi(x)\simeq c_0+c_1x+c_2x^2+... $$ 则当 $t\to+\infty$ 时，含参数的积分 $$ I(t)=\int_0^b \phi(x) \mathrm{e} ^{-t x^\alpha}dx $$ 有渐近展开式 $$ I(t)\simeq\sum_{n=0}^\infty \frac{c_n}{\alpha}\Gamma\left(\frac{n+1}{\alpha}\right)t^{-(n+1)/\alpha}. $$

　　 证明是直接的计算．固定一个 $n$．按照渐近展开的定义，存在 $\delta > 0$ 使得 $0\leq x < \delta$ 时 $\phi(x)-(c_0+...+c_nx^n)=O(x^{n+1})$．远离 $0$ 的 $x$ 对积分的贡献是可以忽略的： $$ \left|\int_\delta^b\phi(x) \mathrm{e} ^{-tx^\alpha}dx\right| \leq\max_{x\in[0,b]}|\phi(x)| \mathrm{e} ^{-t\delta^\alpha}. $$ 而在区间 $[0,\delta]$ 上，通过换元可得 $$ \begin{aligned} \int_0^\delta x^k \mathrm{e} ^{-tx^\alpha}dx &=\frac{t^{-(k+1)/\alpha}}{\alpha}\int_0^{t\delta^\alpha}y^{-(k+1)/\alpha-1} \mathrm{e} ^{-y}dy\\ &=\frac{t^{-(k+1)/\alpha}}{\alpha}\Gamma\left(\frac{k+1}{\alpha}\right)+O( \mathrm{e} ^{-t\delta^\alpha/2}). \end{aligned} $$ 于是就有 $$ \begin{aligned} I(t) &=\int_0^\delta\phi(x) \mathrm{e} ^{-tx^\alpha}dx+O( \mathrm{e} ^{-t\delta^\alpha})\\ &=\sum_{k=0}^n\frac{c_n}{\alpha}\Gamma\left(\frac{k+1}{\alpha}\right)t^{-(k+1)/\alpha}+O(t^{-(n+2)/\alpha}). \end{aligned} $$ 这就是所求的结果．

拉普拉斯方法

　　 拉普拉斯方法是将 Watson 引理用于eq. 1 得到的．作出如下假设：

  1. 函数 $f,\phi$ 都是光滑函数．
  2. 函数 $f(x)$ 在积分区间内部仅有一个严格的极大值点 $x_0\in(a,b)$，而且 $x_0$ 是整个区间上的最大值点．
  3. eq. 1 对于 $t=t_0$ 绝对收敛．

　　 于是 $f'(x_0)=0$．不妨设 $f''(x_0) < 0$．从泰勒公式知道，有一 $\delta > 0$ 使得在区间 $(x_0-\delta,x_0+\delta)$ 上， $$ f(x)=f(x_0)+\frac{1}{2}f''(x_0)(x-x_0)^2+(x-x_0)^3h(x), $$ 其中函数 $h$ 有界．当 $t$ 很大时，区间 $(x_0-\delta,x_0+\delta)$ 之外的积分的贡献比 $t$ 的任何负幂衰减得都快：根据假定 2，当 $|x-x_0| > \delta$ 时有一 $c > 0$ 使得 $f(x) < f(x_0)-c$，从而区间 $(x_0-\delta,x_0+\delta)$ 之外的积分估计为 $$ \begin{aligned} \left|\int_{|x-x_0|>\delta}\phi(x) \mathrm{e} ^{tf(x)}dx\right| &\leq \mathrm{e} ^{-c(t-t_0)}\int_a^b|\phi(x)| \mathrm{e} ^{t_0f(x)}dx\\ &=O( \mathrm{e} ^{-ct}). \end{aligned} $$ 而在区间 $(x_0-\delta,x_0+\delta)$ 上，可作如下换元：$y^2=f(x_0)-f(x)$，即 $$ y=\sqrt{\frac{-f''(x_0)}{2}}(x-x_0)\left(1-\frac{2}{f''(x_0)}(x-x_0)h(x)\right)^{1/2}. $$ 命 $\beta_{\pm}=\pm\sqrt{f(x_0)-f(x_0\pm\delta)}$，又设有泰勒展开

\begin{equation} \psi(y):=\phi(x(y))x'(y)\simeq c_0+c_1y+...,y\to 0 \end{equation}
（这里显然有 $c_0=\phi(x_0)\sqrt{-2/f''(x_0)}$），则 $$ \begin{aligned} \int_{x_0-\delta}^{x_0+\delta}\phi(x) \mathrm{e} ^{tf(x)}dx &= \mathrm{e} ^{tf(x_0)}\int_{\beta_{-}}^{\beta_+}\psi(y) \mathrm{e} ^{-ty^2}dy\\ &\simeq \mathrm{e} ^{tf(x_0)}\int_{0}^{c}[\psi(y)+\psi(-y)] \mathrm{e} ^{-ty^2}dy. \end{aligned} $$ 应用 Watson 引理，最后终于得到eq. 1 的渐近展开：
\begin{equation} I(t)\simeq \mathrm{e} ^{tf(x_0)}\sum_{n=0}^\infty c_{2n}\Gamma\left(n+\frac{1}{2}\right)t^{-n-1/2}, \end{equation}
其中 $c_n$ 由eq. 2 给出．特别地，由于 $\Gamma(1/2)=\sqrt{\pi}$，eq. 1 渐近公式的首项是 $$ I(t)= \mathrm{e} ^{tf(x_0)}\left(\phi(x_0)\sqrt{-\frac{2\pi}{tf''(x_0)}}+O(t^{-3/2})\right). $$

斯特林公式

　　 拉普拉斯方法最基本的应用就是导出 $\Gamma$ 函数的斯特林公式（Stirling formula）．按照定义， $$ \Gamma(t+1) =\int_0^\infty \mathrm{e} ^{-x}x^tdx =t^{t+1}\int_0^\infty \mathrm{e} ^{-t(x-\log x)}dx. $$ 最后一步用到换元 $x\to tx$．最后这个积分刚好符合上一小节所要求的三条假设：这里 $\phi(x)\equiv1$，$f(x)=-(x-\log x)$．于是 $x=1$ 是 $f(x)$ 唯一的极大值点，同时也是唯一的最大值点．代入eq. 3 ，就得到渐近公式 $$ \Gamma(t+1)\simeq\sqrt{2\pi t}\left(\frac{t}{ \mathrm{e} }\right)^t. $$ eq. 3 还给出了更精细的渐近级数： $$ \Gamma(t+1) =\sqrt{2\pi t}\left({t\over \mathrm{e} }\right)^t \left( 1 +{1\over12t} +{1\over288t^2} -{139\over51840t^3} -{571\over2488320t^4} + \cdots \right). $$ 毫无疑问这是一个可以对大的 $n$ 来近似计算 $n!$ 的公式．

         

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