偏导数
对一个多元函数 $y = f(x_1, x_2 \dots x_i \dots)$，如果求导时只把 $x_i$ 看成自变量，剩下的 $x_{j \ne i}$ 都看做常数，得到的导数就叫函数（关于 $x_i$）的偏导数．以二元函数 $z=f(x,y)$ 为例，对 $x$ 的偏导数常记为
\begin{equation}
\frac{\partial z}{\partial x} \qquad \frac{\partial f}{\partial x} \qquad f_x \qquad \left( \frac{\partial f}{\partial x} \right) _y
\end{equation}
最后一种记号在括号右下角声明了保持不变的自变量，这在许多情况下能避免混淆．
Example 1
对于函数 $f(x,y) = x^2 + 2 y^2 + 2xy$，两个偏导数分别为
\begin{equation}
\frac{\partial f}{\partial x} = 2x + 2y \qquad \frac{\partial f}{\partial y} = 4y + 2x
\end{equation}
Example 2
对于函数 $z = \sin\left(y\cos x\right) + \cos ^2 x$
\begin{align}
\frac{\partial z}{\partial x} &= - y \cos\left(y\cos x\right) \sin x - 2\cos x\sin x = - y \cos\left(y\cos x\right) \sin x - \sin 2x\\
\frac{\partial z}{\partial y} &= \cos\left(y\cos x\right) \cos x
\end{align}
几何意义
类比导数的几何意义（曲线的斜率），若在三维直角坐标系中画出曲面 $f(x,y)$，则 $ \partial f/\partial x $ 和 $ \partial f/\partial y $ 分别是是某点处曲面延 $x$ 方向和 $y$ 方向的斜率．所以从某点 $(x_0, y_0)$ 延 $x$ 方向移动一个微小量 $\Delta x$，假设曲面平滑，则函数值增加
\begin{equation}
\Delta f \approx \frac{\partial f}{\partial x} \Delta x
\end{equation}
写成微分关系就是
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{f} = \frac{\partial f}{\partial x} \,\mathrm{d}{x} \quad (y\, \text{不变})
\end{equation}
高阶偏导
与一元函数的高阶导数类似，多元函数也可以求高阶偏导数，不同的是，由于每求一次偏导都需要指定对哪个变量．例如二元函数 $f(x,y)$ 的二阶偏导有
\begin{equation}
\frac{\partial^{2}{f}}{\partial{x}^{2}} \qquad
\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \qquad
\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} \qquad
\frac{\partial^{2}{f}}{\partial{y}^{2}}
\end{equation}
若高阶偏导的分母中出现不止一个变量，我们就称其为
混合偏导．混合偏导的一个重要性质就是偏导的顺序可以任意改变，例如上式中有 $ \partial^2 f/\partial x \partial y = \partial^2 f/\partial y \partial x $．这点本书不做证明，可以通过以上的例子验证．