导数与函数极值

Prerequisite　二阶导数

Fig. 1：导数为零的三种点

　　如fig. 1 ，若一个一元函数 $y = f(x)$ 在某区间内处处可导（即对区间内的任何 $x$ 导数 $f'(x)$ 都存在），若区间内存在某些 $x_i$ 能使 $f'(x_i) = 0$（即在这些点处函数曲线的斜率为零），这样的点被称为驻点．

　　而从函数曲线来看，驻点又分为三类：极大值，极小值，鞍点．我们以 $x_i$ 为中心取一个小区间，如果这个区间足够小，那么容易看出对于极大值点，$f'(x)$ 在小区间内递减，对于鞍点，$f'(x)$ 在小区间内恒为非负或恒为非正，对于极小值点，$f'(x)$ 在小区间内递增．所以为了判断驻点的类型，我们可以在驻点处求函数的二阶导数 $f''(x_i)$．假设二阶偏导存在，如果 $f''(x_i) < 0$，那么 $x_i$ 是极大值点，如果 $f''(x_i) > 0$，$x_i$ 是极小值点．要注意的是，如果 $f''(x_i) = 0$，不能直接判断 $x_i$ 鞍点，需要进一步分析：例如我们可以判断驻点左边和右边的一阶导数符号，如果同号则是驻点，左正右负则是极大值，左负右正则是极小值．

　　另外，若某个极小值点是整个考察区间中函数值最小的点，它就被称为最小值点，若某个极大值点是该区间中函数值最大的点，它就被称为最大值点．

Example 1　

　　二次函数 $f(x) = ax^2 + bx + c$ 的导函数为 $f'(x) = 2ax + b$，所以唯一的驻点为 $-b/(2a)$．函数的二阶导数是一个常数 $f''(x) = 2a$，所以当 $a > 0$ 时驻点是唯一的极小值点，即最小值点．同理，当 $a < 0$ 时驻点是最大值点．

Fig. 2：ex. 2 函数图

Example 2　

　　函数 $f(x) = x+a/x \ \ (a > 0)$ 的一阶导函数为 $f'(x) = 1 - a/x^2$，若我们只考察区间 $(0, +\infty)$，唯一的驻点为 $x = \sqrt{a}$．函数的二阶导函数 $f''(x) = 2a/x^3$ 在驻点处的值为 $2/\sqrt{a} > 0$，所以该驻点为当前区间的最小值点（fig. 2 ）．

Example 3　

　　函数 $f(x) = x^3$ 的一阶导函数为 $f'(x) = 3x^2$，唯一的驻点为 $x = 0$．函数的二阶导函数 $f''(x) = 6x$ 在驻点处的值为 $0$．由于 $f'(x)$ 在原点左侧和右侧都大于 0，所以这是一个鞍点．