高斯积分
以下定积分被定义为高斯积分
\begin{equation}
I = \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e} ^{-x^2} \,\mathrm{d}{x}
\end{equation}
求解高斯积分最简单的方法是在极坐标中求解以下面积分
\begin{equation}
I^2 = \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e} ^{-x^2} \,\mathrm{d}{x} \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e} ^{-y^2} \,\mathrm{d}{y}
=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e} ^{-(x^2 + y^2)} \,\mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y}
\end{equation}
在极坐标系中，$r^2 = x^2 + y^2$，上式变为
\begin{equation}
I^2 = \int_0^{2\pi} \int_0^{+\infty} \mathrm{e} ^{-r^2} r \,\mathrm{d}{r} \,\mathrm{d}{\theta}
= 2\pi \int_0^{+\infty} r \mathrm{e} ^{-r^2} \,\mathrm{d}{r}
\end{equation}
用换元积分法，令 $t = r^2$，$ \,\mathrm{d}{t} = 2r \,\mathrm{d}{r} $，得
\begin{equation}
I^2 = \pi \int_0^{+\infty} \mathrm{e} ^{-t} \,\mathrm{d}{t} = \pi \left. (- \mathrm{e} ^{-t}) \right\rvert _0^{+\infty} = \pi
\end{equation}
最后开方即可得到高斯积分为
\begin{equation}
I = \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e} ^{-x^2} \,\mathrm{d}{x} = \sqrt{\pi}
\end{equation}
更一般地，由换元积分法eq. 5 可得
\begin{equation}
\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e} ^{-a x^2} \,\mathrm{d}{x} = \sqrt{\frac{\pi}{a}}
\end{equation}