拉普拉斯—龙格—楞次矢量
在开普勒问题中，我们定义拉普拉斯—龙格—楞次矢量（Laplace-Runge-Lenz Vector）（缩写为 LRL 矢量）为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{A}} = \boldsymbol{\mathbf{p}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{L}} - mk \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}}
\end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{p}} $ 为质点动量，$ \boldsymbol{\mathbf{L}} $ 为轨道角动量，$k$ 是一个常数（对万有引力 $k = GMm$，对库仑力 $k = Qq/(4\pi\epsilon_0)$．$ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} $ 为质点位矢 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 的单位矢量．在开普勒问题中，可以证明 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 是一个守恒量．
守恒证明
我们下面证明 $\dot{ \boldsymbol{\mathbf{A}} } = 0$．对eq. 1 求时间导数，考虑到中心力场中质点角动量 $ \boldsymbol{\mathbf{L}} $ 守恒，有
\begin{equation}
\dot{ \boldsymbol{\mathbf{A}} } = \dot{ \boldsymbol{\mathbf{p}} } \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{L}} - mk\dot{ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} }
\end{equation}
其中由牛顿第二定律
和万有引力定律
，有
\begin{equation}
\dot{ \boldsymbol{\mathbf{p}} } = \boldsymbol{\mathbf{F}} = - \frac{k}{r^2} \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}}
\end{equation}
又由 “极坐标中单位矢量的偏导
” 得
\begin{equation}
\dot{ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} } = \frac{\partial \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} }{\partial \theta} \frac{\mathrm{d}{\theta}}{\mathrm{d}{t}} = \dot\theta \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}}
\end{equation}
最后由
eq. 9 ，极坐标系中的角动量等于
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{L}} = mr^2\dot \theta \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}}
\end{equation}
将
eq. 3 至
eq. 5 代入
eq. 2 得
\begin{equation}
\dot{ \boldsymbol{\mathbf{A}} } = -\frac{k}{r^2} \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} \boldsymbol\times (mr^2\dot\theta \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} ) - mk\dot\theta \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}}
=-mk\dot\theta ( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} + \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} )
= \boldsymbol{\mathbf{0}}
\end{equation}
最后一个等号成立是因为 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} = - \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} $，可以类比直角坐标系中的 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} = - \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} $．证毕．