轨道方程 比耐公式
我们来看 “中心力场问题” 中得到的两条运动方程（eq. 10 和eq. 9 ）
\begin{align}
\ddot{r} - r \dot\theta^2 &= F(r)/m \\
mr^2\dot \theta &= L
\end{align}
为了得到极坐标中 $r(\theta)$ 的微分方程（
轨道方程），我们以下用
eq. 2 消去
eq. 1 中的 $t$．首先可以把 $r$ 看做复合函数 $r[\theta(t)]$，再用链式法则
处理
eq. 1 的第一项
\begin{equation} \begin{aligned}
\ddot{r} & = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} \left( \frac{\mathrm{d}{r}}{\mathrm{d}{t}} \right) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} \left( \frac{\mathrm{d}{r}}{\mathrm{d}{\theta}} \frac{\mathrm{d}{\theta}}{\mathrm{d}{t}} \right) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{\theta}} \left( \frac{\mathrm{d}{r}}{\mathrm{d}{\theta}} \right) \left( \frac{\mathrm{d}{\theta}}{\mathrm{d}{t}} \right) ^2 + \frac{\mathrm{d}{r}}{\mathrm{d}{\theta}} \frac{\mathrm{d}^{2}{\theta}}{\mathrm{d}{t}^{2}} \\
& = \frac{\mathrm{d}^{2}{r}}{\mathrm{d}{\theta}^{2}} \left( \frac{\mathrm{d}{\theta}}{\mathrm{d}{t}} \right) ^2 + \frac{\mathrm{d}{r}}{\mathrm{d}{\theta}} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{\theta}} \left( \frac{\mathrm{d}{\theta}}{\mathrm{d}{t}} \right) \frac{\mathrm{d}{\theta}}{\mathrm{d}{t}}
\end{aligned} \end{equation}
然后把
eq. 2 代入
eq. 1 消去所有 $\dot\theta = \mathrm{d}{\theta}/\mathrm{d}{t} $，得到 $r$ 关于 $\theta$ 的微分方程
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}^{2}{r}}{\mathrm{d}{\theta}^{2}} \left(\frac{L}{r^2} \right) ^2 + \frac{\mathrm{d}{r}}{\mathrm{d}{\theta}} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{\theta}} \left(\frac{L}{r^2} \right) \frac{L}{r^2} - r \left(\frac{L}{r^2} \right) ^2 = m F(r)
\end{equation}
即
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}^{2}{r}}{\mathrm{d}{\theta}^{2}} + r^2 \frac{\mathrm{d}{r}}{\mathrm{d}{\theta}} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{\theta}} \left(\frac{1}{r^2} \right) - r = \frac{m r^4}{L^2} F(r)
\end{equation}
这就是轨道方程．这个方程比较复杂，但可以通过换元法化为十分简洁的形式．令
\begin{equation}
u \equiv \frac{1}{r}
\end{equation}
代入
eq. 5 ， 得到 $u$ 关于 $\theta $ 的微分方程
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}^{2}{u}}{\mathrm{d}{\theta}^{2}} + u = -\frac{m}{L^2 u^2} F \left(\frac 1u \right)
\end{equation}
这个二阶微分方程被称为
比耐公式．