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Prerequisite 傅里叶级数（指数）
，傅里叶变换（三角）
用三角傅里叶变换 中同样的方法可把指数傅里叶级数的区间长度 $l$ 取极限后拓展为指数傅里叶变换
\begin{align}
g(k) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi }} \int_{-\infty }^{+\infty } f(x) \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} kx} \,\mathrm{d}{x} \\
f(x) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi }} \int_{-\infty }^{+\infty } g(k) \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} kx} \,\mathrm{d}{k}
\end{align}
当 $f(x)$ 为实函数时，$g(k)$ 的实部是偶函数，虚部是奇函数．
实数函数的情况
如果实函数 $f(x)$ 的复数傅里叶变换为 $g(k)$，即 $g(k)$ 需要满足什么条件才能使 $f(x)$ 是实数呢？我们从eq. 2 开始入手
\begin{equation}\begin{aligned}
f(x) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi }} \int_0^\infty [g(k) \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} kx} + g(-k) \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} kx}] \,\mathrm{d}{k} \\
&= \frac{1}{\sqrt{2\pi }} \int_0^\infty [g(k)+g(-k)] \cos\left(kx\right) \,\mathrm{d}{k} \\
&\quad + \frac{ \mathrm{i} }{\sqrt{2\pi }} \int_0^\infty [g(k)-g(-k)] \sin\left(kx\right) \,\mathrm{d}{k}
\end{aligned}\end{equation}
从傅里叶变换（三角函数）我们已知对实数函数，方括号项都必须为实函数，即上式第一个方括号中的虚部为零，第二个方括号中的实部为零，即
\begin{equation}\begin{aligned}
g_{Re}(-k) &= g_{Re}(k)\\
g_{Im}(-k) &= -g_{Im}(k)
\end{aligned}\end{equation}
所以结论是，当 $f(x)$ 为实函数时，$g(k)$ 的实部是偶函数，虚部是奇函数．或用复共轭记为
\begin{equation}
g(-k) = g(k)^*
\end{equation}
所以对于实数函数的傅里叶变换，往往只需要 $k$ 的正半轴．
Example 1 高斯分布的傅里叶变换
要计算高斯函数
\begin{equation}
f(x) = \exp\left(-ax^2\right) \quad (a > 0)
\end{equation}
的傅里叶变换，代入
eq. 1 并使用
ex. 2 有
\begin{equation}
g(k) = \sqrt{\frac{\pi}{a}} \exp\left(-\frac{k^2}{4a}\right)
\end{equation}
一个方便的记忆法是 $x^2$ 前的系数乘以 $k^2$ 前的系数相乘等于 $1/4$．
Example 2
\begin{equation}
f(x) = \begin{cases}
\exp\left( \mathrm{i} k_0 x\right) \cos^2(ax) & ( \left\lvert x \right\rvert < \frac{\pi}{2a})\\
0 & (\text{其他})
\end{cases}
\end{equation}
则傅里叶变换为
\begin{equation} g(k) = \frac{\sqrt{2\pi}a}{4a^2 - (k - k_0)^2} \operatorname{sinc} \left[\frac{\pi (k - k_0)}{2a} \right]
\end{equation}
其中 $ \operatorname{sinc} $ 函数见相关页面
．
证明
Prerequisite 狄拉克 delta 函数
以下的证明可以用矢量空间和基底的概念得到更深刻的理解，详见 “傅里叶变换与连续正交归一基底”．
我们把eq. 2 看作定义，用狄拉克 $\delta$ 函数来证明eq. 1 ，反之同理．把eq. 2 代入eq. 1 得
\begin{equation}
g(k) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \left[\int_{-\infty}^{+\infty} g(k') \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} k' x} \,\mathrm{d}{k'} \right] \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} k x} \,\mathrm{d}{x}
\end{equation}
交换积分顺序，先对 $x$ 积分得
\begin{equation}
g(k) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \left[\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} (k'-k) x} \,\mathrm{d}{x} \right] g(k') \,\mathrm{d}{k'}
\end{equation}
由
ex. 2 ，里面的积分变为 $2\pi\delta(k'-k)$，现在只需证明
\begin{equation}
g(k) = \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(k'-k) g(k') \,\mathrm{d}{k'}
\end{equation}
而这就是
eq. 10 ．证毕．
性质
为了书写方便我们用算符 $\mathcal F$ 和 $\mathcal F^{-1}$ 表示傅里叶变换和反变换，即 $\mathcal F f = g$ 以及 $\mathcal F^{-1} g = f$．算符在这里可以看作 “函数的函数”，即自变量和函数值都是函数．
\begin{equation}
\mathcal F [f(x) \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} k_0 x}] = g(k - k_0)
\end{equation}
\begin{equation}
\mathcal F^{-1} [g(k) \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} k x_0}] = f(x - x_0)
\end{equation}
也就是说，给函数乘以 $ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} k_0 x}$ 因子再做傅里叶变换，等于先对函数做傅里叶变换，再向右平移 $k_0$．给函数乘以 $ \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} k x_0}$ 因子再做反傅里叶变换，等于先对函数做反傅里叶变换，再向右平移 $x_0$．证明显然，留做习题．
变换前后模长不变
\begin{equation}
\int_{-\infty}^{+\infty} g(k)^* g(k) \,\mathrm{d}{k} = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)^* f(x) \,\mathrm{d}{x}
\end{equation}
导数的傅里叶变换
\begin{equation}
\mathcal F [f'(x)] = \mathrm{i} k g(k)
\end{equation}
同理
\begin{equation}
\mathcal F^{-1} [g'(k)] = - \mathrm{i} x f(x)
\end{equation}
作为eq. 15 的拓展，有
\begin{equation}
\int_{-\infty}^{+\infty} f_1(x)^* f_1(x) \,\mathrm{d}{x} = \int_{-\infty}^{+\infty} g_1(k)^* g_2(k) \,\mathrm{d}{k}
\end{equation}
如果 $f_1(x)$ 可以在 $x = 0$ 泰勒展开，有
\begin{equation}
\mathcal{F}[f_1(x) f_2(x)] = f_1 \left( \mathrm{i} \frac{\partial}{\partial{k}} \right) g_2(k)
\end{equation}
性质的证明
证明eq. 15 ：把傅里叶变换看成傅里叶级数在 $l \to \infty$ 时的极限，使用eq. 14 ，右边的求和在极限下变为积分即可证明．详细过程留做习题．
证明eq. 16 ：对eq. 2 关于 $x$ 求导得
\begin{equation}
f'(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi }} \int_{-\infty }^{+\infty } [ \mathrm{i} kg(k)] \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} kx} \,\mathrm{d}{k}
\end{equation}
把方括号看作一整个 $k$ 的函数，那么上式对应的反变换为
\begin{equation}
\mathrm{i} kg(k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi }} \int_{-\infty }^{+\infty } f'(x) \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} kx} \,\mathrm{d}{x} = \mathcal F [f'(x)]
\end{equation}
其中 $g(k) = F [f(x)]$，证毕．
未完成：证明其他性质