Prerequisite 傅里叶级数（三角）
，欧拉公式
$f(x)$ 是自变量为实数的复变函数，若满足狄利克雷条件，则可展在区间 $[- l,l]$ 展开成复数的傅里叶级数
\begin{equation}
f(x) = \sum_{n = - \infty }^{ + \infty } c_n \exp\left( \mathrm{i} \frac{n\pi }{l}x\right)
\end{equation}
其中
\begin{equation}
c_n = \frac{1}{2l} \int_{ - l}^l f(x) \exp\left(- \mathrm{i} \frac{n\pi }{l}x\right) \,\mathrm{d}{x}
\end{equation}
当 $f(x)$ 为实函数时，$c_n$ 与 $c_{-n}$ 互为复共轭．当 $f(x)$ 为偶函数或奇函数时，分别有 $c_{-n} = c_n$ 或 $c_{-n} = -c_n$．
推导
类比三角傅里叶级数的情况．这时，完备正交归一的函数基底变为
\begin{equation}
f_n(x) = \exp\left( \mathrm{i} \frac{n\pi }{l}x\right) \quad{n \in N}
\end{equation}
定义复函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的内积为
\begin{equation}
\left\langle f \middle| g \right\rangle = \int_{-l}^{l} f(x) ^* g(x) \,\mathrm{d}{x}
\end{equation}
可证明函数基底（
eq. 3 ）正交且模长为 $2l$，用克罗内克 $\delta$ 函数表示为
\begin{equation}
\left\langle f_m \middle| f_n \right\rangle = 2l \delta_{mn}
\end{equation}
与三角傅里叶级数同理，可得
eq. 1 和
eq. 2 ．
与三角傅里叶级数的关系
考虑到正余弦函数和复指数函数的关系
\begin{equation}
\cos x = \frac{ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} x} + \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} x}}{2} \qquad
\sin x = \frac{ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} x} - \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} x}}{2 \mathrm{i} }
\end{equation}
三角傅里叶级数的系数
eq. 2 和
eq. 3 可以用指数傅里叶级数的系数表示
\begin{equation}
\begin{aligned}
a_n &= \frac{1}{l}\int_{ - l}^l f( x ) \cos\left(\frac{n\pi }{l}x\right) \,\mathrm{d}{x} \\
&= \frac{1}{2l}\int_{ - l}^l f( x ) \exp\left( \mathrm{i} \frac{n\pi }{l}x\right) \,\mathrm{d}{x} + \frac{1}{2l}\int_{ - l}^l f( x ) \exp\left(- \mathrm{i} \frac{n\pi}{l}x\right) \,\mathrm{d}{x} \\
&= c_{-n} + c_n
\end{aligned} \end{equation}
同理，
\begin{equation} \begin{aligned}
b_n &= \frac{c_{-n}-c_n}{ \mathrm{i} }
\end{aligned} \end{equation}
注意这里全都有 $n\geqslant 0$．由以上两式，也可以解得
\begin{equation}
c_n = \frac{a_n - \mathrm{i} b_n}{2} \qquad
c_{-n} = \frac{a_n + \mathrm{i} b_n}{2}
\end{equation}
实函数，奇函数，和偶函数的情况
特殊地，当 $f(x)$ 为实函数时，由于 $a_n$ 和 $b_n$ 必定是实数，根据eq. 9 可知
\begin{equation}
c_{-n} = c_{n} ^*
\end{equation}
即正负系数互为复共轭．当 $f(x)$ 为偶函数或奇函数时，三角傅里叶级数分别只有 $a_n$ 或 $b_n$ 不为零
，同样根据
eq. 9 可得，两种情况分别对应
\begin{equation}
c_{-n} = c_n =\frac{a_n}{2} \qquad
c_{-n} = -c_n = \mathrm{i} \frac{b_n}{2}
\end{equation}
由以上两式可得，如果 $f(x)$ 既是实函数又是偶函数时，$c_n$ 和 $c_{-n}$ 是相等的实数，如果既是实函数又是奇函数，$c_n$ 和 $c_{-n}$ 是相反的纯虚数．
性质
\begin{equation}
\int_{-l}^l \left\lvert f^2(x) \right\rvert \,\mathrm{d}{x} = 2l\sum_n \left\lvert c_n \right\rvert ^2
\end{equation}
证明：用狄拉克符号记为 $ \left\lvert f \right\rangle = \sum_n c_n \left\lvert n \right\rangle $，利用基底的正交性（
eq. 5 ）
\begin{equation}
\left\langle f \middle| f \right\rangle = \sum_i c_i^* \left\langle i \right\rvert \sum_j c_j \left\lvert j \right\rangle = 2l \sum_{i,j} \left\lvert c_i \right\rvert ^2 \delta_{i,j} = 2l \sum_n \left\lvert c_n \right\rvert ^2
\end{equation}
如果把基底为正交归一化（每个基底 $ \left\lvert n \right\rangle $ 除以 $\sqrt{2l}$，使得 $ \left\langle i \middle| j \right\rangle = \delta_{i,j}$，则有更简洁的关系
\begin{equation}
\int_{-l}^l \left\lvert f^2(x) \right\rvert \,\mathrm{d}{x} = \sum_n \left\lvert c_n \right\rvert ^2
\end{equation}