离散的函数基底
本文使用狄拉克符号．在 “傅里叶级数（三角）” 中，我们介绍了正交归一函数基底的概念，即把满足一定条件的一元函数的集合看作一个矢量空间，两个函数（矢量）的内积定义为
\begin{equation}
\left\langle f \middle| g \right\rangle = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)^* g(x) \,\mathrm{d}{x}
\end{equation}
其中 $*$ 表示复共轭，如果空间中的函数都是实函数则可忽略．
该空间中的一组正交归一基底用狄拉克符号表示为 $ \left\lvert x_i \right\rangle $（$i = 1, 2,\dots$），基底的个数可以是有限个或无限个，空间的维数就是基底的个数．
基底满足正交归一条件（eq. 1 ）
\begin{equation}
\left\langle x_i \middle| x_j \right\rangle = \delta_{i,j}
\end{equation}
若这组正交归一基底是完备的，那么如果一个函数可以分解为它们的线性组合：
\begin{equation}
\left\lvert f \right\rangle = \sum_j c_j \left\lvert x_j \right\rangle
\end{equation}
两边左乘 $ \left\langle x_i \right\rvert $，则有
\begin{equation}
\left\langle x_i \middle| f \right\rangle = \sum_j c_j \left\langle x_i \middle| x_j \right\rangle = \sum_j c_j \delta_{i,j} = c_i
\end{equation}
即
\begin{equation}
c_i = \left\langle x_i \middle| f \right\rangle
\end{equation}
的过程相当于用正交归一性把 $ \left\lvert x_i \right\rangle $ 项从
eq. 3 的求和中筛选了出来．我们得到几何矢量中一个熟悉的结论：一个矢量关于一组正交归一基底的坐标等于它在每个基底上的投影．
连续的函数基底
我们接下来用类似的方法来理解傅里叶变换（eq. 1 ）．
\begin{align}
g(k) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi }} \int_{-\infty }^{+\infty } f(x) \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} kx} \,\mathrm{d}{x} \\
f(x) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi }} \int_{-\infty }^{+\infty } g(k) \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} kx} \,\mathrm{d}{k}
\end{align}
我们令所有可以做傅里叶变换的函数构成的空间为 $X$，从傅里叶变换的公式，我们猜想该空间的正交归一 “基底” 为
\begin{equation}
\left\lvert k \right\rangle = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} kx} \qquad (k \in \mathbb R)
\end{equation}
严格来说，$X$ 空间的函数必须要满足 $ \left\langle x \middle| x \right\rangle $ 为有限值，而
eq. 8 中的函数显然不满足这点，所以它们并不属于 $X$ 空间，而是一个包含 $X$ 的更大的空间，所以这个 “基底” 只是一个形象的说法，需要加上引号．
显然，eq. 8 中的任意两个 “基底” 的内积都不收敛，而且 $k$ 的取值是连续的，所以我们不可能用eq. 2 表示它们的正交归一关系．但通过（eq. 15 ）
\begin{equation}
\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} kx} \,\mathrm{d}{x} = 2\pi \delta(k)
\end{equation}
可以得到一个和
eq. 2 类似的关系
\begin{equation}
\begin{aligned}
\left\langle k' \middle| k \right\rangle &= \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{ \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} k'x}}{\sqrt{2\pi}} \frac{ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} kx}}{\sqrt{2\pi}} \,\mathrm{d}{x} \\
&= \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} (k'-k)x} \,\mathrm{d}{x}
= \delta(k' - k)
\end{aligned}
\end{equation}
即
\begin{equation}
\left\langle k' \middle| k \right\rangle = \delta(k' - k)
\end{equation}
这可以看作是
连续基底的正交归一条件．
现在，把eq. 6 和eq. 7 用狄拉克符号表示为
\begin{align}
&g(k) = \left\langle k \middle| f \right\rangle \\
&f(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} g(k') \left\lvert k' \right\rangle \,\mathrm{d}{k'}
\end{align}
它们可以分别看作是把
eq. 5 和
eq. 3 拓展到连续基底的情况．根据定义，任何能做傅里叶（反）变换的 $f(x)$ 必定能展开成
eq. 13 的形式．再来证明
eq. 12 ，过程和
eq. 4 类似：
eq. 13 两边左乘 $ \left\langle k \right\rvert $，使用 $\delta$ 函数的性质
eq. 10 把积分中 $ \left\lvert k \right\rangle $ 基底的系数 “筛选” 出来
\begin{equation}
\begin{aligned}
\left\langle k \middle| f \right\rangle &= \int_{-\infty}^{+\infty} g(k) \left\langle k \middle| k' \right\rangle \,\mathrm{d}{k} \\
&= \int_{-\infty}^{+\infty} g(k) \delta(k-k') \,\mathrm{d}{k'}
= g(k)
\end{aligned}
\end{equation}
证毕．
注意该证明并不仅限于傅里叶变换一种情况，任何连续的基底 $ \left\lvert k \right\rangle $ 只要满足正交归一条件eq. 11 ，且可以展开某函数 $f(x)$，就都能使eq. 12 成立．