Prerequisite 麦克斯韦方程组
，电场的能量
，磁场的能量
结论
坡印廷矢量
真空中电磁场的能流密度（即单位面积单位时间通过某个垂直的微小截面的能量）为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{s}} = \frac{1}{\mu_0} \boldsymbol{\mathbf{E}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}}
\end{equation}
$ \boldsymbol{\mathbf{s}} $ 就是坡印廷矢量．
Example 1 平面电磁波的能流密度
我们知道真空中的平面电磁波的电场和磁场方向垂直，所以二者叉乘的模长等于他们各自的模长相乘．叉乘的方向就是电磁波传播的方向．考虑到每个位置的磁场 $ \left\lvert B( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \right\rvert = \left\lvert E( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \right\rvert /c$，再利用eq. 4 得
\begin{equation}
s = \frac{1}{\mu_0 c} \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{E}} \right\rvert ^2 = \epsilon_0 c \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{E}} \right\rvert ^2
\end{equation}
但注意在任意一点处，这个值是随时间以 $\sin^2$ 波动的，在波节处，能流密度为零，而在波峰处为最大，平均值等于 $1/2$．所以任意一点的平均能流密度为
\begin{equation}
\left\langle s \right\rangle = \frac{1}{2} \epsilon_0 c \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{E}} _{max} \right\rvert ^2
\end{equation}
电磁场能量守恒积分形式
\begin{equation}
\int_V \frac{\mathrm{d}{w}}{\mathrm{d}{t}} \,\mathrm{d}{V} + \frac{\partial}{\partial{t}} \int_V \rho_E \,\mathrm{d}{V} + \oint_\Omega \boldsymbol{\mathbf{s}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{a}} } = 0
\end{equation}
选取任意的一个闭合曲面 $\Omega $，内部空间记为 $V$，以下三者之和为零．
- 电磁场对 $V$ 中所有电荷做功的功率
- $V$ 中电磁场能量增加的速率
- 以及通过曲面 $\Omega $ 流出的能量的速率
电磁场能量守恒微分形式
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}{w}}{\mathrm{d}{t}} + \frac{\partial \rho}{\partial t} + \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{s}} = 0
\end{equation}
空间中选取任意一点，以下三者之和为零．
- 电磁场对电荷的功率密度
- 电磁场能量密度增量
- 能流密度散度
推导
类比电流的连续性方程eq. 4 （即电荷守恒），若电磁场不对电荷做功，能量守恒可以写成
未完成：$\rho_E$ 的表达式引用一下
\begin{equation}
\frac{\partial \rho_E}{\partial t} + \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{s}} = 0
\end{equation}
的形式．其中 $ \boldsymbol{\mathbf{s}} $ 是电磁场的能流密度（也叫
坡印廷矢量）（参考流密度）．但若再考虑上电磁场对电荷做功，则还需要加上一项做功做功功率密度 $ \partial w/\partial t $，即单位时间单位体积电磁场对电荷做的功）．
\begin{equation}
\frac{\partial w}{\partial t} + \frac{\partial \rho_E}{\partial t} + \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{s}} = 0
\end{equation}
第一项中电磁场对电荷做功即广义洛伦兹力做功（功率密度）
\begin{equation}
\frac{\partial w}{\partial t} = \boldsymbol{\mathbf{f}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} = \rho ( \boldsymbol{\mathbf{E}} + \boldsymbol{\mathbf{v}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} ) \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} = \boldsymbol{\mathbf{j}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{E}}
\end{equation}
假设电磁场的能量守恒
eq. 7 成立，那么 $ \boldsymbol{\mathbf{j}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{E}} = - \partial \rho_E/\partial t - \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{s}} $．等式右边只与场有关，所以应该把电流密度 $ \boldsymbol{\mathbf{j}} $ 用麦克斯韦方程组替换成场的表达式，即
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{j}} = \frac{1}{\mu_0} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{B}} - \epsilon_0 \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{E}} }{\partial t}
\end{equation}
代入得
\begin{equation}
\begin{aligned}
\frac{\partial w}{\partial t} &= \left(\frac{1}{\mu_0} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{B}} - \epsilon_0 \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{E}} }{\partial t} \right) \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{E}} \\
&= \frac{1}{\mu_0} ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{B}} ) \boldsymbol{\mathbf{E}} - \epsilon_0 \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{E}} }{\partial t} \boldsymbol{\mathbf{E}}
\end{aligned}
\end{equation}
第二项中，$\rho_E$ 是电场能量密度和磁场能量密度之和，即
\begin{equation}
\begin{aligned}
\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} ( \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} ) &= \boldsymbol{\mathbf{B}} ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} ) + (x \boldsymbol{\mathbf{\nabla}} ) \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} - \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{B}} ) - ( \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{\nabla}} ) \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} \\
&= (x \boldsymbol{\mathbf{\nabla}} ) \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} = \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{B}} }{\partial x}
\end{aligned}\end{equation}
现在我们可以把
eq. 10 ，
eq. 11 代入
eq. 7 中，求出 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{s}} $．
\begin{equation}
\begin{aligned}
\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{s}} &= - \frac{\partial w}{\partial t} - \frac{\partial \rho_E}{\partial t} \\
&= -\frac{1}{\mu_0} ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{B}} ) \boldsymbol{\mathbf{E}} + \epsilon_0 \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{E}} }{\partial t} \boldsymbol{\mathbf{E}} - \frac{\partial}{\partial{t}} \left(\frac12 \epsilon_0 \boldsymbol{\mathbf{E}} ^2 + \frac12 \frac{ \boldsymbol{\mathbf{B}} ^2}{\mu_0} \right) \\
&= - \frac{1}{\mu_0} ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{B}} ) \boldsymbol{\mathbf{E}} - \frac{1}{\mu_0} \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{B}} }{\partial t} \boldsymbol{\mathbf{B}}
\end{aligned}
\end{equation}
其中 $( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{B}} ) \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{E}} = ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{E}} ) \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} - \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} ( \boldsymbol{\mathbf{E}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} )$，因为 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} ( \boldsymbol{\mathbf{E}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} ) = ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{E}} ) \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} - ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{B}} ) \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{E}} $（Gibbs 算子相关公式）．代入得
\begin{equation}
\begin{aligned}
\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{s}} &= - \frac{\partial w}{\partial t} - \frac{\partial \rho_E}{\partial t} \\
&= -\frac{1}{\mu_0} ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{B}} ) \boldsymbol{\mathbf{E}} + \epsilon_0 \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{E}} }{\partial t} \boldsymbol{\mathbf{E}} - \frac{\partial}{\partial{t}} \left(\frac12 \epsilon_0 \boldsymbol{\mathbf{E}} ^2 + \frac12 \frac{ \boldsymbol{\mathbf{B}} ^2}{\mu_0} \right) \\
&= - \frac{1}{\mu_0} ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{E}} ) \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} - \frac{1}{\mu_0} \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{B}} }{\partial t} \boldsymbol{\mathbf{B}} + \frac{1}{\mu_0} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} ( \boldsymbol{\mathbf{E}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} )
\end{aligned}
\end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{E}} = - \partial \boldsymbol{\mathbf{B}} /\partial t $，代入得
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{s}} = \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \left(\frac{1}{\mu_0} \boldsymbol{\mathbf{E}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} \right)
\end{equation}
即
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{s}} = \frac{1}{\mu_0} \boldsymbol{\mathbf{E}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}}
\end{equation}
这就是电磁场的能流密度．
事实上，给 $ \boldsymbol{\mathbf{s}} $ 再加上任意一个散度为零的场，eq. 14 都能满足，但为了简洁起见，一般写成eq. 15 ．