- 本词条缺少预备知识，初学者可能会遇到困难．
- 本词条需要更多讲解，便于帮助理解．
Prerequisite 常微分方程
，Gamma 函数
1在球坐标系中解库仑势场中的定态薛定谔方程，会得到径向方程（eq. 7 ）
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}^{2}{u}}{\mathrm{d}{\rho}^{2}} + \left[1 - \frac{2\eta}{\rho} - \frac{l(l+1)}{\rho^2} \right] u = 0
\end{equation}
其解为
第一类库仑函数 $F_l(\eta, \rho)$ 和
第二类库仑函数 $G_l(\eta, \rho)$．第一类库仑函数的解析式为
2
\begin{equation}
F_l(\eta, \rho) = A_l(\eta) \rho^{l+1} \mathrm{e} ^{\mp \mathrm{i} \rho} M(l+1\mp \mathrm{i} \eta, 2l+2, \pm 2 \mathrm{i} \rho)
\end{equation}
其中
\begin{equation}
A_l(\eta) = \frac{2^l \mathrm{e} ^{-\pi\eta/2} \left\lvert \Gamma(l+1+ \mathrm{i} \eta) \right\rvert }{(2l+1)!}
\end{equation}
$M(a, b, z)$ 是
库默尔（Kummer）M 函数，也叫第一类合流超几何函数
，记为 $_1 F_1(a;b;z)$．库仑函数也可以用
惠特克（Whittaker）M 函数来表示得更紧凑
\begin{equation}
F_l(\eta, \rho) = \left(\frac{\mp \mathrm{i} }{2} \right) ^{l+1} A_l(\eta) M_{\pm \mathrm{i} \eta, l+\frac12} \left(\pm 2 \mathrm{i} \rho \right)
\end{equation}
其中惠特克 $M$ 函数与库默尔 $M$ 函数的关系为
\begin{equation}
M_{\kappa, \mu}(z) = \mathrm{e} ^{-z/2} z^{\mu + 1/2} M(\mu - \kappa + 1/2, 1 + 2\mu, z)
\end{equation}
$F_l(\eta, \rho)$ 是一个实函数，类似 $\rho$ 乘以第一类球贝塞尔函数
3$j_l(\rho)$，有
\begin{equation}
F_l(\eta, 0) = 0 \qquad \left. \frac{\mathrm{d}{F_l(\eta, \rho)}}{\mathrm{d}{\rho}} \right\rvert _{\rho=0} =
\begin{cases}
A_0(\eta) &(l = 0)\\
0 &(l > 0)
\end{cases}
\end{equation}
且渐进形式为
\begin{equation}
F_l(\eta, \rho) \overset{\rho\to \infty}{\longrightarrow} \sin\left(\rho - \frac{\pi l}{2} - \eta \ln\left(2\rho\right) + \sigma_l\right)
\end{equation}
其中 $\sigma_l(\eta)$ 是
库仑相移（Coulomb phase shift）
\begin{equation}
\sigma_l(\eta) = \arg[\Gamma(l+1+ \mathrm{i} \eta)]
\end{equation}
其中 $\arg$ 函数是复数的幅角（
eq. 5 ）．
第二类库仑函数 $G_l(\eta, \rho)$ 可以由 $H_l^\pm(\eta, \rho)$ 得到，后者是两类库仑函数的线性组合4
\begin{equation}
H_l^\pm(\eta, \rho) = G_l(\eta, \rho) \pm \mathrm{i} F_l(\eta, \rho)
\end{equation}
定义为
\begin{equation}
H_l^\pm(\eta, \rho) = (\mp \mathrm{i} )^l \mathrm{e} ^{\pi\eta/2 \pm \mathrm{i} \sigma_l(\eta)} W_{\mp \mathrm{i} \eta, l + 1/2}(\mp 2 \mathrm{i} \rho)
\end{equation}
其中 $W_{\kappa, \mu}(z)$ 是
惠特克（Whittaker）W 函数
\begin{equation}
W_{\kappa, \mu}(z) = \mathrm{e} ^{-z/2} z^{\mu + 1/2} U(\mu - \kappa + 1/2, 1 + 2\mu, z)
\end{equation}
其中 $U(a, b, z)$ 是
库默尔（Kummer）U 函数，定义为
\begin{equation}
U(a, b, z) = \frac{\Gamma(1 - b)}{\Gamma(a + 1 - b)} M(a, b, z) + \frac{\Gamma(b - 1)}{\Gamma(a)} z^{1 - b} M(a + 1 - b, 2 - b, z)
\end{equation}
代入
eq. 10 得
\begin{equation}
H_l^\pm(\eta, \rho) = \mathrm{e} ^{\pm \mathrm{i} \theta_l(\eta, \rho)}(\mp 2 \mathrm{i} \rho)^{l + 1 \pm \mathrm{i} \eta} U(l + 1 \pm \mathrm{i} \eta, 2l + 2, \mp2 \mathrm{i} \rho)
\end{equation}
其中
\begin{equation}
\theta_l(\eta, \rho) = \rho - \eta \ln\left(2\rho\right) - \frac{l\pi}{2} + \sigma_l(\eta)
\end{equation}
是
eq. 7 中的渐进相位．
$G_l(\eta,\rho)$ 的渐进形式为
\begin{equation}
\lim_{\rho\to \infty} G_l(\eta, \rho) = \cos\theta_l(\eta, \rho)
\end{equation}
库仑函数的导数可以由惠特克函数的导数5得到．
\begin{equation}
\frac{\partial}{\partial{z}} [M_{a, b}(z)] = \left(\frac12 - \frac{a}{z} \right) M_{a, b}(z) + \frac{1}{x} \left(a + b + \frac12 \right) M_{a+1, b}(z)
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{\partial}{\partial{z}} [W_{a, b}(z)] = \frac{1}{2z} \left[(z - 2a) W_{a, b}(z) - 2W_{a+1, b}(z) \right]
\end{equation}
可见程序中求导数大概要比求函数值多用一倍时间（因为要求两次惠特克函数），但同时也顺便求出了函数值．如果同时需要两类库仑函数及它们的导数，只需求 $H^+$ 函数的导数，这就顺便求出了 $H^+$，再分别取实部虚部即可．另外只需要把 $H^+$ 做复共轭即可得到 $H^-$．
一种验证函数值是否正确的方法是使用以下性质
\begin{equation}
\mathcal{W}\{G, F\} = \mathcal{W}\{H^\pm, F\} = 1
\end{equation}
其中 $\mathcal{W}\{f_1(x), f_2(x)\}$ 是二阶
朗斯基行列式（Wronskian determinant）
\begin{equation}
\mathcal{W}\{f_1(x), f_2(x)\} = \begin{vmatrix}
f_1(x) & f_2(x) \\
f_1'(x) & f_2'(x)
\end{vmatrix} = f_1(x) f_2'(x) - f_2(x) f_1'(x)
\end{equation}
由渐进形式可得径向归一化积分6与球贝塞尔函数的相同
\begin{equation}
\int_0^\infty F_l(Z/k', k' r)F_l(Z/k, kr) \,\mathrm{d}{r} = \int_0^\infty \sin\left(k'r\right) \sin\left(kr\right) \,\mathrm{d}{r} = \frac{\pi}{2}[\delta(k - k') - \delta(k + k')]
\end{equation}
1. ^ 参考 NIST 相关页面
2. ^ 这里的两套正负号是等效的．
3. ^ 当 $\eta = 0$ 时二者相等．
4. ^ 类比 $ \exp\left( \mathrm{i} x\right) = \cos x + \mathrm{i} \sin x$
5. ^ 可以使用 Wolfram Alpha 或 Mathematica
6. ^ 积分时可忽略 $\sin$ 中的额外相位，但笔者不会证．