椭圆积分
第一类不完全椭圆积分（incomplete elliptic integral of the first kind）
\begin{equation}
F(\phi, k) = \int_0^\phi \frac{ \,\mathrm{d}{x} }{\sqrt{1 - k^2\sin^2 x}}
\end{equation}
椭圆积分有时候也记为 $F(\phi | k^2) = F(\sin\phi ; k)$．
使用积分换元法，令 $t = \sin x$，有
\begin{equation}
F \left(\phi, k \right) = \int_0^\phi \frac{ \,\mathrm{d}{t} }{\sqrt{(1 - t^2)(1 - k^2 t^2)}}
\end{equation}
另一种换元法是令 $\theta = 2x$，$k = \csc\left(\theta_0/2\right) $，$F(\phi, k)$ 也可以表示为
\begin{equation}
F \left(\phi, \csc\frac{\theta_0}{2} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \sin\frac{\theta_0}{2} \int_0^{2\phi} \frac{ \,\mathrm{d}{\theta} }{\sqrt{\cos\theta - \cos\theta_0}}
\end{equation}
数值计算
$F(\phi | m)$ 的 Matlab 函数为 ellipticF(phi, m)，Mathematica 函数为 EllipticF[phi, m]．
（图未完成）