圆锥曲线的光学性质

Prerequisite　椭圆的三种定义，抛物线的三种定义，双曲线的三种定义

　　首先，对于本词条涉及到的部分几何概念作出如下规定：

角度：所有角大小均取弧度制 $[0,\pi]$ 范围内的值（不区分始边终边，不区分正负角）；
补角：角的其中一条边的反向延长线与该角的另一条边所形成的角，称为该角的补角（如图 1，$\angle A'BC$ 是 $\angle ABC$ 的补角，$\angle A'BC + \angle ABC = \pi$）；

Fig. 1：补角
角平分线：到角两边的距离相等的点的集合（把角分为大小相等的两部分的直线），称为该角的角平分线．

　　对两种特殊角的情形作出如下补充：

零角（如图 2，$\angle ABC = 0$）的补角为平角（$\angle ABA' = \pi$），零角的平分线与角两边重合（直线 $AA'$ 即 $\angle ABC$ 的平分线）；
平角（如图 2，$\angle ABA' = \pi$）的补角为零角（$\angle ABC = 0$），平角的平分线与角两边垂直（$AA'$ 的垂线 $BN$ 即 $\angle ABA'$ 的平分线）．

Fig. 2：零角和平角

　　显然，对所有角而言，角平分线与该角的补角平分线互相垂直．

椭圆的光学性质

　　 $F_1$，$F_2$ 是椭圆的两个焦点，$ P $ 是椭圆上任意一点，则 $\angle F_1PF_2 $ 的补角平分线 $ PT $ 是椭圆的切线．

Fig. 3：椭圆的光学性质

几何法证明

　　作点 $F_2$ 关于直线 $PT$ 的对称点 $F_2'$．由于 $PT$ 是 $\angle F_1PF_2 $ 的补角平分线，则 $F_2'$ 在 $F_1P$ 的延长线上．

　　记 $Q$ 是直线 $PT$ 上的任意一点．于是

\begin{equation} F_1Q + F_2Q = F_1Q + F_2'Q \geqslant F_1F_2' = F_1P + F_2P \end{equation}

当且仅当 $P$，$Q$ 重合时，不等式（eq. 1 ）为等式．

　　椭圆的一种定义为：平面上到两焦点的距离之和为定值的点的集合．显然，椭圆内任意一点到两焦点距离之和小于该定值，而椭圆外任意一点到两焦点距离之和大于该定值．

　　所以，直线 $PT$ 上有且仅有点 $P$ 在椭圆上，其他点都在椭圆外．这就证明了 $PT$ 是椭圆的切线．

等价的命题

　　结合光在同一介质中直线传播的性质，以及光的反射定律 —— 反射角等于入射角，不难推知，上述几何命题等价于物理命题 “真空或同种均匀介质中，从椭圆一个焦点处射出的光线经过在椭圆曲线上的反射后，反射光线都汇聚于另一个焦点”．

解析法推导

　　记椭圆的直角坐标方程为

\begin{equation} b^2 x^2 +a^2 y^2=a^2 b^2 \end{equation}

其中 $a > b > 0,c>0$ 且 $c^2=a^2-b^2$，椭圆焦距为 $2c$．

　　将 $y$ 视作 $x$ 的函数，对方程eq. 2 等号两边关于 $x$ 求导，可得

\begin{equation} b^2 x +a^2 yy'= 0 \end{equation}

　　 $P(x_0,y_0)$ 是椭圆上任意一点，则点 $P$ 处的椭圆切线方程为

\begin{equation} a^2 y_0 \left(y - y_0 \right) = - b^2 x_0 \left(x - x_0 \right) \quad \Rightarrow \quad b^2 x_0 x + a^2 y_0 y = a^2 b^2 \end{equation}

　　由切线方程可得椭圆在点 $P$ 处的一个法向量（与切线垂直的向量）为 $ \boldsymbol{\mathbf{n}} = \left(b^2 x_0,a^2 y_0 \right) $．

　　向量 $\overrightarrow{F_1P}= \left(x_0 +c,y_0 \right) \; ,\; \overrightarrow{F_2P}= \left(x_0 -c,y_0 \right) $．

　　记两个任意向量（$ \boldsymbol{\mathbf{s}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{t}} $）的夹角为 $ < \boldsymbol{\mathbf{s}} , \boldsymbol{\mathbf{t}} >$．则

\begin{equation} \cos < \boldsymbol{\mathbf{n}} ,\overrightarrow{F_1P} > =\frac{ \boldsymbol{\mathbf{n}} \boldsymbol\cdot \overrightarrow{F_1P}}{| \boldsymbol{\mathbf{n}} | \; |\overrightarrow{F_1P}|}= \frac{b^2 x_0 (x_0+c)+a^2 y_0^2}{\sqrt{b^4 x_0^2+a^4 y_0^2}\sqrt{(x_0+c)^2+y_0^2}} \end{equation}

\begin{equation} \cos < \boldsymbol{\mathbf{n}} ,\overrightarrow{F_2P} > =\frac{ \boldsymbol{\mathbf{n}} \boldsymbol\cdot \overrightarrow{F_2P}}{| \boldsymbol{\mathbf{n}} | \; |\overrightarrow{F_2P}|}= \frac{b^2 x_0 (x_0-c)+a^2 y_0^2}{\sqrt{b^4 x_0^2+a^4 y_0^2}\sqrt{(x_0-c)^2+y_0^2}} \end{equation}

　　 eq. 5 和eq. 6 作比，并代入eq. 2 及 $c^2=a^2-b^2$ 进行化简

\begin{equation} \begin{aligned} \frac{\cos < \boldsymbol{\mathbf{n}} ,\overrightarrow{F_1P} > }{\cos < \boldsymbol{\mathbf{n}} ,\overrightarrow{F_2P} > } &=\frac{a^2 b^2+b^2cx_0}{a^2 b^2-b^2cx_0}\; \sqrt{\frac{(x_0-c)^2+y_0^2}{(x_0+c)^2+y_0^2}} \\ &=\frac{a^2+cx_0}{a^2-cx_0}\; \sqrt{\frac{a^2(x_0-c)^2 +a^2 b^2-b^2 x_0^2}{a^2(x_0+c)^2 +a^2 b^2-b^2 x_0^2}} \\ &=\frac{a^2+cx_0}{a^2-cx_0}\; \sqrt{\frac{c^2 x_0^2 + a^4 - 2a^2 c x_0}{c^2 x_0^2 + a^4 + 2a^2 c x_0}} \\ &=\frac{a^2+cx_0}{a^2-cx_0}\; \sqrt{\frac{(a^2-cx_0)^2}{(a^2+cx_0)^2}} \end{aligned} \end{equation}

　　由于点 $P$ 在椭圆上，则 $-a\leqslant x_0 \leqslant a$，则 $a^2-cx_0 > 0$，因此

\begin{equation} \frac{\cos < \boldsymbol{\mathbf{n}} ,\overrightarrow{F_1P} > }{\cos < \boldsymbol{\mathbf{n}} ,\overrightarrow{F_2P}>}=1 \end{equation}

　　所以 $ < \boldsymbol{\mathbf{n}} ,\overrightarrow{F_1P} > = < \boldsymbol{\mathbf{n}} ,\overrightarrow{F_2P}>$，满足入射角等于反射角的反射定律．由此用解析几何的方法推导出了椭圆的光学性质．

抛物线的光学性质

　　 $F$ 是抛物线的焦点，$l$ 是准线，$P$ 是抛物线上的任意一点，作 $PP' \perp l$，垂足为 $P'$，则 $\angle FPP' $ 的角平分线 $ PT $ 是抛物线的切线．

　　等价命题：真空或同种均匀介质中，从抛物线焦点射出的光线，经过抛物线曲线的反射后，反射光线平行于抛物线对称轴．

Fig. 4：抛物线的光学性质

双曲线的光学性质

　　 $F_1$，$F_2$ 是双曲线的两个焦点，$P$ 是双曲线上的任意一点，则 $\angle F_1PF_2 $ 的角平分线 $ PT $ 是双曲线的切线．

　　等价命题：真空或同种均匀介质中，从双曲线一个焦点射出的光线，经过双曲线的反射后，反射光的反向延长线汇聚于另一个焦点．

Fig. 5：双曲线的光学性质

Exercise 1　证明题

　　仿照椭圆光学性质的证明和推导过程，证明抛物线和双曲线的光学性质．