因式分解与一元二次方程（高中）

贡献者：欄、停敘; ACertainUser

预备知识　函数回顾

　　本篇将回顾初中阶段学习的代数运算，包括因式分解（factorization）和一元二次方程（quadratic equation）的内容。这些知识构成了高中数学的重要基础，是理解更复杂代数运算和解析几何的关键。高中学习中，因式分解帮助理解多项式的结构，简化复杂表达式，而一元二次方程则用于解决一系列涉及二次关系的函数、解析几何问题。

1. 因式分解

　　 单项式（monomial）是由常数系数与变量的非负整数次幂的乘积构成的数学表达式。一个单项式可能包含一个变量或多个变量，但它们的幂次必须是非负整数。例如，$3x^2y$ 和 $7z$ 是单项式，而包含其他运算（如 $\sin x$、$\cos x$、$2^x$）或非整数次幂（如 $\displaystyle x^{1/2} = \sqrt{x}$、$\displaystyle x^{-1} = \frac{1}{x}$）的表达式均不是单项式。多项式（polynomial）是由一个或多个单项式通过加法连接组成的表达式。不含变量的单项式称为常数项，如 $5$ 或 $-3$，这类单项式在表达式中不会随变量的变化而变化。

　　 因式分解（factorization）是将一个多项式分解为多个多项式或单项式的乘积的操作，这些构成乘积的式子称为因式（factor）。因式分解是解决多项式方程的一个重要工具，因为多项式方程可以转化为 “多项式 = 0” 的形式。利用因式分解，方程可以进一步简化为多个因式的乘积等于零，而乘积为零的情况下，任一因式可以等于零，从而降低了方程求解的难度。

　　通常，分解所得的每个因式应为不可约的（irreducible），即不能进一步分解。高中阶段常见的不可约的因式包括：单项式、一次多项式（形如 $ax+b$）以及符合条件的二次多项式（形如 $ax^2+bx+c$）。其余的因式可以通过爱森斯坦判别法（Eisenstein's criterion）来判定：对多项式 $a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_0$ ，若存在一个素数 $p$ 使得：

$a_{n-1},a_{n-2},\dots,a_0$ 能被 $p$ 整除；
$a_n$ 不能被 $p$ 整除；
$a_0$ 不能被 $p^2$ 整除。

　　则这个多项式在有理数范围内是不可约的。这个判别法本身只作为扩展视野，但它揭示了因式分解与质数计算的重要关系。这使得因式分解本质上和质因数分解分不开，是一个比较困难的问题。在高中阶段一般只会涉及到简单的分解，这是基本功需要非常熟练。因式分解的方法包括：

提取公因式，如：$4x^2+2x\to2x(2x+1)$；
分组分解，有时需要添项或拆项，如：$ x^3 + x^2 + x + 1\to (x^3 + x) + (x^2+ 1)\to(x^2 + 1)(x + 1) $
十字相乘法
恒等变换公式

　　 十字相乘法（cross method）是一种用于分解三项式的方法。以二次三项式 $ax^2 + bx + c$ 为例，它的核心在于将 $a,c$ 分别分解成两个数的乘积，然后交叉相乘，使得交叉相乘的结果之和等于中间项的系数 $b$。

未完成：原理图

　　它背后的依据是：

\begin{equation} (ax+b)(cx+d)=acx^2+(ad+bc)x+bd~. \end{equation}

　　一般地，若 $a,b,c,d$ 分别代表一个单项式而非常数，那么有

\begin{equation} ac+(ad+bc)+bd=(a+b)(c+d)~. \end{equation}

这时就可分解二次三项式以外的三项式，如：$3x^4+7x^2y+2y^2$，首项分为 $3x^2,x^2$，末项分为 $2y,y$，从而有 $3x^2\cdot2y+x^2\cdot y=7x^2y$，因此可以分解为 $(3x^2+y)(x^2+2y)$。

2. 一元二次方程的根

　　一元二次方程指形如

\begin{equation} ax^2+bx+c=0 \qquad (a\neq 0)~. \end{equation}

的方程。从函数的视角来看，如果设函数 $y=ax^2+bx+c$，那么求解方程 $ax^2+bx+c=0$ 即化为寻找所有使 $y=0$ 成立的点。式 3 可以通过 “配平方” 得到如下形式：

\begin{equation} \begin{split} & ax^2+bx+c = 0 \\ \iff&x^2+2{b\over 2a} x+\left({b\over 2a}\right)^2 = \left({b\over 2a}\right)^2-{c\over a} \\ \iff&\left(x+{b\over 2a}\right)^2 = {b^2-4ac\over 4a^2} \\ \end{split}~. \end{equation}

存在性判定

　　由于式 4 左侧及右侧分母是一个平方形式，因此 $x$ 的值只与右侧分子的符号相关，定义其为判别式：

\begin{equation} \Delta = b^2-4ac~. \end{equation}

　　则：

$\Delta > 0$ 时，方程有实数解，为两个不同的实根。
$\Delta = 0$ 时，方程有实数解，为两个相同的实根。¹
$\Delta < 0$ 时，方程无实数解。

　　从函数的视角看式 4 的变化，其实就是相当于将函数水平平移到了以 $y$ 轴为对称轴的位置上。而方程左侧是一个开口向上，对称轴为 $y$ 轴的二次函数，右侧则是它与 $y$ 轴的交点。那么交点的正负自然意味着函数与 $x$ 轴交点的性质。

图 1：$f(x)$ 示意图。从左到右为 $\Delta > 0, \Delta = 0, \Delta < 0$

求根公式

　　对于式 4 ，方程有解时，两个根分别为：

\begin{equation} x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\qquad x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}~. \end{equation}

或统一写作

\begin{equation} x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}~. \end{equation}

这被称为二次方程的求根公式（quadratic formula）。

　　式 6 中，若 $\Delta = 0$，则 $\displaystyle x_1=x_2=-\frac{b}{2a}$ 与之前推理的结论相符。$\displaystyle x=-\frac{b}{2a}$ 也正是二次函数的对称轴，两个零点如果存在则一定关于该轴对称。

快速解法

　　求根公式尽管能适用于所有一元二次方程，且形式固定，但由于其计算过程繁琐，实际做题中可以根据具体情况简化操作。

　　对于可以快速因式分解的方程，可直接得到： $$k(x-a)(x-b)=0\Rightarrow x_1=a, x_2=b~.$$

图 2：$f(x)=(x-a)(x-b)$ 示意图

　　对于 $a=1$，$b=2n$ 为偶数的一元二次方程 $x^2+2nx+c=0$，可以直接配方得到：

\begin{equation} (x+n)^2=m\qquad(m=n^2-c)~. \end{equation}

自然两个根就是

\begin{equation} x_1=\sqrt{m}-n\qquad x_2=-\sqrt{m}-n~. \end{equation}

这与求根公式的推导过程相同，但计算上利用特殊条件快一些。

3. 韦达定理

　　 韦达定理（Vieta's formulas）是法国数学家弗朗索瓦·韦达（François Viète）发现的一组描述代数方程的根和方程系数的关系的公式，因此也称根与系数关系。

定理 1　韦达定理（二次情况）

　　设方程 $a x^2 + b x + c = 0\quad(a \neq 0)$ 的两个根为 $x_1$ 和 $x_2$，则它们满足： $$\begin{aligned} x_1 + x_2 &= -\frac{b}{a} ~,\\ x_1 x_2 &= \frac{c}{a}~. \end{aligned}$$

　　下面给出证明：

　　对方程 $a x^2 + b x + c = 0\quad(a \neq 0)$，设其有两个根 $x_1$ 和 $x_2$，则有：

\begin{equation} \begin{split} ax^2+bx+c &= 0 \\ &=a(x-x_1)(x-x_2)\\ &=ax^2-a(x_1+x_2)x+ax_1x_2 \end{split}~. \end{equation}

由于式 10 为恒成立的代数式，所以两侧对应变量的系数相等，从而有：

\begin{equation} \begin{cases} -a(x_1+x_2)=b\\ ax_1x_2=c \end{cases} \implies \begin{cases} x_1 + x_2 &= \displaystyle-\frac{b}{a} \\ x_1 x_2 &= \displaystyle\frac{c}{a} \end{cases}.~ \end{equation}

　　证毕。

　　这是一种常用的证明方法，即恒成立的代数方程，两侧对应位置的系数相等。韦达定理使得面对方程时，即使不求解具体的解的形式，也可以描述两个解之间的关系，这在解析几何部分会有非常重要的应用。另外，对于任意 $n$ 次代数方程的情况，有：

定理 2　韦达定理

　　对于 $n$ 次代数方程 $a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_n=0\quad(a_0\neq0)$，若存在 $n$ 个根 $x_1,x_2,\cdots,x_n$，则有：

\begin{equation} \begin{split} &x_1+x_2+\cdots +x_n=-{a_1\over a_0}\\ &(x_1x_2+x_1x_3+\cdots+ x_1x_n)+(x_2x_3+\cdots +x_2x_n)+\cdots+x_{n-1}x_n={a_2\over a_0}\\ &\vdots\\ &x_1x_2\cdots x_n=(-1)^n{a_n\over a_0} \end{split}~. \end{equation}

也可以统一记作²：

\begin{equation} \sum_{1\le i_1 < i_2 < \cdots < i_k\le n} \left(\prod_{j = 1}^k r_{i_j}\right)=(-1)^k\frac{a_{n-k}}{a_n}~. \end{equation}

　　它的证明方式与之前完全相同，可以自己尝试做一下，在计数原理部分会有更透彻的讲解。

1. ^ 这里称两个相同实根而非一个实根，是根据代数基本定理。
2. ^ 此处使用的是求和符号和求积符号。如果不理解可以跳过。