二次方程求根公式

贡献者： ACertainUser

1. 求根公式

　　 解决二次方程最常规的方法是运用求根公式。 对于二次方程 $$ax^2+bx+c=0 \qquad (a\neq 0)~,$$ 定义判别式 $$\Delta = b^2-4ac~,$$ 那么方程的两个根分别为 $$ \begin{aligned} x_1&=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}~,\\ x_2&=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}~. \end{aligned} $$ 可见，当 $$ \begin{aligned} \Delta &> 0 \Rightarrow \text{方程有两个不同的根}\\ \Delta &= 0 \Rightarrow \text{方程有两个相同的根}\\ \Delta &< 0 \Rightarrow \text{方程无实数根（但有两个共轭的复数根）}\\ \end{aligned}~ $$

几何含义

　　 假设 $f(x)=ax^2+bx+c$，那么求解方程 $ax^2+bx+c=0$ 即化为寻找函数 $f(x)$ 的所有零点 $f(x)=0$。

　　 可见，$x=-\frac{b}{2a}$ 为函数 $f(x)$ 的对称轴，两个零点（如果存在）关于该轴对称。

2. 配方法

　　 对于一些特定的问题，可以将方程配方并求解，有时这比直接使用求根公式更为简便。

　　 例如，可以将方程配方为如下形式： $$(x-a)(x-b)=0\Rightarrow x_1=a, x_2=b~.$$

　　 或者 $$(x-a)^2=b\Rightarrow x_1=\sqrt{b}+a, x_2=-\sqrt{b}+a~.$$