约化密度矩阵

贡献者： _Eden_

预备知识 1　密度矩阵，张量积空间的算符

　　对于孤立系统，我们知道其量子态是 Hilbert 空间的一个射线，而量子测量一个正交投影算符，系统的动力学演化是幺正的（ $U (t, 0) = e^{- i H t}$ ）。现在我们转而研究开放系统（open systems），也就是说，当我们考察一个更大的量子系统中的一个子系统，那么这个子系统与外部之间是有相互作用的。此时子系统的态不再是射线，对它的测量不再是正交投影算符，同时子系统的演化也不再是幺正的了。

1. 偏迹

　　假设整个大系统的 Hilbert 空间可以表示为两个子 Hilbert 空间的张量积： $H_{A} \otimes H_{B}$ ，其中 $A$ 是待研究的子系统的 Hilbert 空间。可以将该大系统的量子态表示为

\begin{matrix} (1) & {| ψ ⟩}_{A B} = \sum_{i, μ} a_{i μ} {| i ⟩}_{A} \otimes {| μ ⟩}_{B} . \end{matrix}

其中

{| i ⟩}_{A}, {| μ ⟩}_{B}

分别组成了

H_{A}, H_{B}

的两组正交完备基，因此

{| i ⟩}_{A} \otimes {| μ ⟩}_{B}

组成了

H_{A} \otimes H_{B}

的正交完备基。现在考虑对子系统 A 的测量操作

M_{A}

（它是

H_{A}

的正交投影算符），它所对应的

H_{A} \otimes H_{B}

上的测量算符应当是

M_{A} \otimes I_{B}

。该可观测量的期望值为

\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} ⟨ M_{A} ⟩ & =_{A B} ⟨ ψ | M_{A} \otimes I_{B} {| ψ ⟩}_{A B} \\ = \sum_{i, j, μ} a_{i μ}^{*} a_{j μ} \cdot [_{A} ⟨ i | M_{A} {| j ⟩}_{A}] \\ = tr (M_{A} ρ_{A}), \end{aligned} \end{matrix}

其中

ρ_{A}

被定义为

\begin{matrix} (3) & ρ_{A} = {tr}_{B} (| ψ ⟩ ⟨ ψ |) = \sum_{i, j, μ} a_{i μ} a_{j μ}^{*} | i ⟩ ⟨ j | . \end{matrix}

我们称该算符为约化密度算符，

{tr}_{B}

为偏迹（partial trace），有时候也被称为部分迹，也就是说，我们只对

ρ = | ψ ⟩ ⟨ ψ |

中

H_{B}

的指标部分取迹。

2. 约化密度算符的性质

预备知识 2　正定矩阵

　　根据式 3 ，我们很容易证明以下性质：

$ρ_{A}$ 是厄米的。
$ρ_{A}$ 是正定的，也就是说对于任意 $| φ ⟩$ ， $⟨ φ | ρ_{A} | φ ⟩ \geq 0$ 。
$tr (ρ_{A}) = 1$ ，这是由于 ${| ψ ⟩}_{A B}$ 是归一化的。

　　因为密度矩阵的正定性，它总是可以在一组正交完备基上对角化，也就是说总是可以表示为

\begin{matrix} (4) & ρ_{A} = \sum_{a} p_{a} | a ⟩ ⟨ a | . \end{matrix}

其中

| a ⟩

组成了

H

的一组正交完备基；

p_{a}

是该正定算符的本征值，且

\sum_{a} p_{a} = 1, p_{a} > 0

。如果

ρ^{2} \neq ρ

，那么所有

p_{a}

都小于

1

，此时子系统

A

不再是一个纯态，而是多个纯态组成的系综，系综中每个态都被赋予了一个经典意义上概率的诠释，即都有一定的概率

p_{a}

出现。这可以从以下的式子中看到：

\begin{matrix} (5) & ⟨ M ⟩ = tr M ρ_{A} = \sum_{a} p_{a} ⟨ a | M | a ⟩ . \end{matrix}

　　除了 $ρ^{2} \neq ρ$ 这个判据以外，我们也可以采用以下的判据

\begin{matrix} (6) & tr ρ^{2} < 1 . \end{matrix}

若该判据成立，那么

A

就不是纯态；否则

A

是纯态。

　　若 $A$ 不是纯态，那么可以知道 $A$ 与 $B$ 间存在纠缠，以至于 $A$ 不能被视作孤立的系统。