贡献者： _Eden_
对于孤立系统，我们知道其量子态是 Hilbert 空间的一个射线，而量子测量一个正交投影算符，系统的动力学演化是幺正的（$U(t,0)=e^{-iHt}$）。现在我们转而研究开放系统（open systems），也就是说，当我们考察一个更大的量子系统中的一个子系统，那么这个子系统与外部之间是有相互作用的。此时子系统的态不再是射线，对它的测量不再是正交投影算符，同时子系统的演化也不再是幺正的了。
1. 偏迹
假设整个大系统的 Hilbert 空间可以表示为两个子 Hilbert 空间的张量积：$\mathcal{H}_A\otimes \mathcal{H}_B$，其中 $\mathcal A$ 是待研究的子系统的 Hilbert 空间。可以将该大系统的量子态表示为
\begin{equation}
\left\lvert \psi \right\rangle _{AB}=\sum_{i,\mu}a_{i\mu} \left\lvert i \right\rangle _A\otimes \left\lvert \mu \right\rangle _B~.
\end{equation}
其中 $ \left\lvert i \right\rangle _A, \left\lvert \mu \right\rangle _B$ 分别组成了 $\mathcal{H}_A, \mathcal{H}_B$ 的两组正交完备基，因此 $ \left\lvert i \right\rangle _A\otimes \left\lvert \mu \right\rangle _B$ 组成了 $\mathcal{H}_A\otimes \mathcal{H}_B$ 的正交完备基。现在考虑对子系统 A 的测量操作 $M_A$（它是 $\mathcal H_A$ 的正交投影算符），它所对应的 $\mathcal{H}_A\otimes \mathcal{H}_B$ 上的测量算符应当是 $M_A\otimes I_B$。该可观测量的期望值为
\begin{equation}
\begin{aligned}
\left\langle M_A \right\rangle &={}_{AB} \left\langle \psi \right\rvert M_A\otimes I_B \left\lvert \psi \right\rangle _{AB}\\
&=\sum_{i,j,\mu}a_{i\mu}^*a_{j\mu} \cdot [{}_A \left\langle i \right\rvert M_A \left\lvert j \right\rangle _A]\\
&=\text{tr}(M_A \rho_A)~,
\end{aligned}
\end{equation}
其中 $\rho_A$ 被定义为
\begin{equation}
\rho_A=\text{tr}_B( \left\lvert \psi \right\rangle \left\langle \psi \right\rvert )=\sum_{i,j,\mu}a_{i\mu}a_{j\mu}^* \left\lvert i \right\rangle \left\langle j \right\rvert ~.
\end{equation}
我们称该算符为
约化密度算符，$\text{tr}_B$ 为
偏迹（partial trace），有时候也被称为部分迹，也就是说，我们只对 $\rho= \left\lvert \psi \right\rangle \left\langle \psi \right\rvert $ 中 $\mathcal{H}_B$ 的指标部分取迹。
2. 约化密度算符的性质
根据式 3 ，我们很容易证明以下性质：
- $\rho_A$ 是厄米的。
- $\rho_A$ 是正定的，也就是说对于任意 $ \left\lvert \varphi \right\rangle $，$ \left\langle \varphi \right\rvert {\rho_A} \left\lvert \varphi \right\rangle \ge 0$。
- $\text{tr}(\rho_A)=1$，这是由于 $ \left\lvert \psi \right\rangle _{AB}$ 是归一化的。
因为密度矩阵的正定性，它总是可以在一组正交完备基上对角化，也就是说总是可以表示为
\begin{equation}
\rho_A=\sum_a p_a \left\lvert a \right\rangle \left\langle a \right\rvert ~.
\end{equation}
其中 $ \left\lvert a \right\rangle $ 组成了 $\mathcal{H}$ 的一组正交完备基；$p_a$ 是该正定算符的本征值，且 $\sum_a p_a=1,p_a>0$。如果 $\rho^2\neq \rho$，那么所有 $p_a$ 都小于 $1$，此时子系统 $A$ 不再是一个纯态，而是多个纯态组成的
系综，系综中每个态都被赋予了一个经典意义上概率的诠释，即都有一定的概率 $p_a$ 出现。这可以从以下的式子中看到：
\begin{equation}
\left\langle M \right\rangle =\text{tr} M\rho_A = \sum_a p_a \left\langle a \right\rvert M \left\lvert a \right\rangle ~.
\end{equation}
除了 $\rho^2\neq \rho$ 这个判据以外，我们也可以采用以下的判据
\begin{equation}
\text{tr} \rho^2 <1~.
\end{equation}
若该判据成立，那么 $A$ 就不是纯态；否则 $A$ 是纯态。
若 $A$ 不是纯态，那么可以知道 $A$ 与 $B$ 间存在纠缠，以至于 $A$ 不能被视作孤立的系统。