复正定矩阵

贡献者： addis; Giacomo

预备知识　厄米矩阵的本征问题，实正定矩阵

　　¹ 本文把 “实正定矩阵” 拓展到复数矩阵。在看复数的正定矩阵的定义前，我们先看另一个定理以帮助理解

　　对任意厄米矩阵 $A$ 以及任意复数列向量 $v$ ， $v^{†} A v$ 必为实数。

　　 证明： 把 $v^{†} A v$ 看作 $1 \times 1$ 的矩阵，需要证明 $(v^{†} A v)^{†} = v^{†} A v$ 根据式 3 有 $(v^{†} A v)^{†} = v^{†} A^{†} v$ ，而厄米矩阵满足 $A^{†} = A$ ，得证。

　　 正定矩阵（positive definite matrix）定义如下。

　　若一个厄米矩阵 $A$ ，对任意非零复数列向量 $v$ 都满足

\begin{matrix} (1) & v^{†} A v > 0, \end{matrix}

那么它就是正定矩阵。

　　类似地，也可以定义半正定矩阵（把式 1 中 $>$ 替换为 $⩾$ ），负定矩阵（把 $>$ 替换为 $<$ ），半负定矩阵。

　　其中 $v^{†}$ 表示 $v$ 的厄米共轭（即先转置再把每个矩阵元取复共轭）。

　　当 $A$ 是对称矩阵时，它对应一个对称 2-线性函数， $q (v) = v^{T} A v$ 是对应的二次型。当 $A$ 为厄米矩阵时，则对应一个对称的半双线性形式。

　　一个矩阵 $A$ 是正定矩阵当且仅当其本征值都大于零。半正定矩阵和（半）负定矩阵的定义也类似。

　　证明：令 $A$ 的本征矢为 ${{\hat{u}}_{i}}$ （一组正交归一基底），对应本征值为 $λ_{i}$ （实数），令非零矢量为 $v = \sum_{i} c_{i} {\hat{u}}_{i}$ （ $c_{i}$ 不全为零）。那么

\begin{matrix} (2) & v^{†} A v = \sum_{i} λ_{i} {| c_{i} |}^{2}, \end{matrix}

可见若所有

λ_{i} > 0

，结果必然是正的。若要求对任意不全为零的

c_{1}, c_{2}, \dots

等式都大于零，那么也能反推出所有

λ_{i} > 0

。

　　正定（负定）矩阵都是满秩的。

　　证明：对于非零 $x$ ， $x^{†} A x \neq 0$ ，说明 $A x \neq 0$ ，所以齐次方程组 $A x = 0$ 唯一的解就是 $x = 0$ ，所以矩阵是满秩的，证毕。

　　求二维厄米矩阵

\begin{matrix} (3) & H = (\begin{matrix} a & b \\ b^{*} & d \end{matrix}) \end{matrix}

正定的充分必要条件。

　　用特征多项式直接求本征值

\begin{matrix} (4) & (λ - a) (λ - d) - {| b |}^{2} = 0 . \end{matrix}

λ

必定有解，利用求根公式，两个解大于零的充要条件是

\begin{matrix} (5) & a d > {| b |}^{2}, a > 0 . \end{matrix}

1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面。