复正定矩阵

贡献者： addis; Giacomo

预备知识　厄米矩阵的本征问题，实正定矩阵

　　¹ 本文把 “实正定矩阵” 拓展到复数矩阵。在看复数的正定矩阵的定义前，我们先看另一个定理以帮助理解

定理 1　

　　对任意厄米矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 以及任意复数列向量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $，$ \boldsymbol{\mathbf{v}} ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 必为实数。

　　 证明： 把 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 看作 $1\times 1$ 的矩阵，需要证明 $( \boldsymbol{\mathbf{v}} ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{v}} ) ^\dagger = \boldsymbol{\mathbf{v}} ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 根据式 3 有 $( \boldsymbol{\mathbf{v}} ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{v}} ) ^\dagger = \boldsymbol{\mathbf{v}} ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{A}} ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{v}} $，而厄米矩阵满足 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} ^\dagger = \boldsymbol{\mathbf{A}} $，得证。

　　 正定矩阵（positive definite matrix）定义如下。

定义 1　

　　若一个厄米矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $，对任意非零复数列向量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 都满足

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{v}} ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{v}} > 0~, \end{equation}

那么它就是正定矩阵。

　　类似地，也可以定义半正定矩阵（把式 1 中 $>$ 替换为 $\geqslant$），负定矩阵（把 $>$ 替换为 $<$），半负定矩阵。

　　其中 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} ^\dagger $ 表示 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 的厄米共轭（即先转置再把每个矩阵元取复共轭）。

　　当 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 是对称矩阵时，它对应一个对称 2-线性函数，$q(v) = \boldsymbol{\mathbf{v}} ^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 是对应的二次型。当 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 为厄米矩阵时，则对应一个对称的半双线性形式。

定理 2　

　　一个矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 是正定矩阵当且仅当其本征值都大于零。半正定矩阵和（半）负定矩阵的定义也类似。

　　证明：令 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的本征矢为 $\{ \hat{\boldsymbol{\mathbf{u}}} _i\}$（一组正交归一基底），对应本征值为 $\lambda_i$（实数），令非零矢量为 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} = \sum_i c_i \hat{\boldsymbol{\mathbf{u}}} _i$（$c_i$ 不全为零）。那么

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{v}} ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{v}} = \sum_i \lambda_i \left\lvert c_i \right\rvert ^2~, \end{equation}

可见若所有 $\lambda_i > 0$，结果必然是正的。若要求对任意不全为零的 $c_1,c_2,\dots$ 等式都大于零，那么也能反推出所有 $\lambda_i > 0$。

定理 3　

　　正定（负定）矩阵都是满秩的。

　　证明：对于非零 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $，$ \boldsymbol{\mathbf{x}} ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{x}} \ne \boldsymbol{\mathbf{0}} $，说明 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{x}} \ne \boldsymbol{\mathbf{0}} $，所以齐次方程组 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{x}} = \boldsymbol{\mathbf{0}} $ 唯一的解就是 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} = \boldsymbol{\mathbf{0}} $，所以矩阵是满秩的，证毕。

例 1　

　　求二维厄米矩阵

\begin{equation} H = \begin{pmatrix}a & b\\ b^* & d\end{pmatrix} ~ \end{equation}

正定的充分必要条件。

　　用特征多项式直接求本征值

\begin{equation} (\lambda - a)(\lambda - d) - \left\lvert b \right\rvert ^2 = 0~. \end{equation}

$\lambda$ 必定有解，利用求根公式，两个解大于零的充要条件是

\begin{equation} ad > \left\lvert b \right\rvert ^2, \qquad a > 0~. \end{equation}

1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面。