量子纠缠 2

贡献者：刘煜彬; addis; _Eden_

预备知识　约化密度矩阵

　　我们研究一个二元纯态 $ \left\lvert \psi \right\rangle _{AB}$ 的子系统 $A$，假设整个大的孤立系统的 Hilbert 空间可以表示为两个子 Hilbert 空间的张量积：$\mathcal{H}_A\otimes \mathcal{H}_B$，其中 $\mathcal A$ 是待研究的子系统的 Hilbert 空间，设约化密度算符为 $\rho_A=\text{tr}_B \left\lvert \psi \right\rangle \left\langle \psi \right\rvert $。在约化密度矩阵文章中，我们证明了 $A,B$ 处于纠缠态的一个判据式 6 。

\begin{equation} \text{tr} \rho^2 <1~. \end{equation}

　　它意味着约化密度算符在某个正交完备基下对角化以后，表现为 $\mathcal{H}_A$ 中若干个纯态（大于一个）组成的系综，系综中每个纯态有 $p_a<1$ 的概率出现。这也意味着当且仅当 $\rho_A$ 的施密特秩¹大于 $1$，$A,B$ 处于纠缠态。在此处我们考察的约化密度算符是正定算符，因此施密特秩等于正的本征值的个数。若本征值个数 $>1$，体系处于纠缠态，我们称 $A,B$ 之间具有量子相关性。

　　如果施密特秩为 $1$，那么约化密度算符可以表示为 ${}_A \left\lvert \varphi \right\rangle \left\langle \varphi \right\rvert _A,\varphi_A\in \mathcal{H}$，此时 $A$ 与 $B$ 之间是不纠缠的，或者被称为可分的（seperable）。此时二元纯态 $ \left\lvert \psi \right\rangle $ 实际上可以表示为两个子系统的量子态的张量积：

\begin{equation} \left\lvert \psi \right\rangle _{AB}= \left\lvert \varphi \right\rangle _A\otimes \left\lvert \varphi \right\rangle _B~. \end{equation}

　　为了量化纠缠的程度，我们引入纠缠熵（entanglement entropy）。纠缠熵是通过约化密度算符的谱（即其特征值）来定义的。通常使用冯·诺依曼熵（von Neumann entropy）来表示纠缠熵。如定义 1 ：

\begin{equation} S(\rho_A) = - \text{tr}(\rho_A \log \rho_A)~, \end{equation}

其中 $\rho_A$ 是子系统 $A$ 的约化密度算符。

　　冯·诺依曼熵具有以下性质：

非负性：$S(\rho_A) \geq 0$。
纯态的熵为零：如果 $\rho_A$ 对应一个纯态，则 $S(\rho_A) = 0$。
最大熵：对于最大混合态，$S(\rho_A)$ 达到最大值。

　　对于一个二元纯态 $ \left\lvert \psi \right\rangle _{AB}$，其约化密度矩阵 $\rho_A$ 和 $\rho_B$ 具有相同的谱（特征值），因此 $S(\rho_A) = S(\rho_B)$。纠缠熵可以被解释为子系统 $A$ 和 $B$ 之间量子纠缠的度量。当 $S(\rho_A) = 0$ 时，表示两个子系统是可分的；当 $S(\rho_A)$ 较大时，表示两个子系统之间具有较强的量子纠缠。

　　总结来说，纠缠熵提供了一种定量描述系统内部量子纠缠程度的方法，它在量子信息理论和量子计算中有广泛的应用。通过计算子系统的冯·诺依曼熵，我们可以确定并量化量子系统中的纠缠程度。这是理解量子系统内部复杂关联的重要工具。我们经常用这个来看模型处于哪一个相，并以此作为一个序参量来判定相变。但是注意不是所有相变都可以用冯·诺依曼熵当序参量，需要参考相变的类型。

1. ^ 类似于矩阵的秩，可以将这一概念推广到任意线性算符。