贡献者： Giacomo
1. 线性映射的张量积
两个线性映射 $f: V \to W$，$g: V' \to W'$ 之间可以定义它们的张量积1
\begin{equation}
\begin{aligned}
f \otimes g: V \otimes V' &\to W \otimes W', \\
v \otimes v' &\mapsto f(v) \otimes g(v')~.
\end{aligned}
\end{equation}
此时 $f \otimes g \in L(V \otimes V', W \otimes W')$。
从另一个角度来说，全体 $V$ 到 $W$ 的线性映射的集合 $L(V, W)$ 是一个向量空间（参考子节 4 ），因此可以定义两个线性映射空间之间的张量积 $L(V, W) \otimes L(V', W')$；用这种方法我们也可以定义线性映射的张量积，此时 $f \otimes g \in L(V, W) \otimes L(V', W')$。这两种定义并不完全等价。
要构造两种张量积之间的对应关系，我们需要考虑双线性映射
\begin{equation}
\begin{aligned}
L(V, W) \times L(V', W') &\to L(V \otimes V', W \otimes W')~, \\
(f, g) &\mapsto f \otimes_1 g~,
\end{aligned}
\end{equation}
其中 $f \otimes_1 g \in L(V \otimes V', W \otimes W')$，是第一种张量积。
未完成：张量积的万有性质
由于这个映射是双线性的，根据张量积的万有性质（TODO）可以得到一个唯一的映射
\begin{equation}
\begin{aligned}
\iota: L(V, W) \otimes L(V', W') &\to L(V \otimes V', W \otimes W')~, \\
f \otimes_2 g &\mapsto f \otimes_1 g~,
\end{aligned}
\end{equation}
其中 $f \otimes_2 g \in L(V, W) \otimes L(V', W')$ 是第二种张量积。
定理 1
线性映射空间的张量积是张量积的线性映射空间的子集2，即
\begin{equation}
L(V, W) \otimes L(V', W') \subseteq L(V \otimes V', W \otimes W')~.
\end{equation}
如果 $V, W$ 是有限维度向量空间，那么上述包含关系相等。
这个定理中，我们把 $f \otimes_2 g$ 和 $\iota(f \otimes_2 g) = f \otimes_1 g$ 视作了相等，我们要证明的是 $\iota$ 是一个单射。
证明：
如果 $f \otimes_1 g = \iota(f \otimes_2 g) = 0$，这意味着对任意 $v \in V, v' \in V'$，$f(v) \otimes g(v') = (f \otimes_1 g)(v \otimes v') = 0$，即 $f(v)$ 或者 $g(v')$ 等于 $0$；假设 $f$ 不恒等于零，即存在 $v_0 \in V$ 使得 $f(v) \neq 0$，此时对任意的 $v' \in V'$ 我们都有 $g(v') = 0$，换言之 $g = 0$，我们得到了 $f$ 或者 $g$ 中至少有一个为零映射，因此 $f \otimes_2 g = 0$。证得 $\iota$ 是单射。
进一步的，假设 $V, V', W, W'$ 都是有限维度向量空间，维度分别为 $n, n', m, m'$，我们有
\begin{equation}
\dim(L(V, W) \otimes L(V', W')) = n n' m m' = \dim(L(V \otimes V', W \otimes W'))~
\end{equation}
根据
秩-零化度定理可得 $\iota$ 是一个同构映射。
证毕。
对于一般的情况，考虑线性映射 $H: V \otimes V' \to W \otimes W'$，取 $v \in V, v' \in V'$，当且仅当 $H(v \otimes v') \in W \otimes W'$ 正好形如 $w \otimes w'$，我们就能找到
\begin{equation}
h(v) = w, h'(v') = w'~
\end{equation}
使得 $H = h \otimes h'$。
例 1 无限维度的反例
$V = V' = W = W' = \left\langle e_1, \dots, e_n, \dots \right\rangle$，
\begin{equation}
H(e_i \otimes e_j) = e_i \otimes e_j + e_{i + 1} \otimes e_{j + 1}~
\end{equation}
由于 $e_i \otimes e_j + e_{i + 1} \otimes e_{j + 1}$ 不可能写成 $w \otimes w'$ 的形式，自然 $H$ 也没法写成两个映射的张量积了。
类似于乘法，我们也可以定义多项的张量积。
用矩阵表示张量积
未完成：Kronecker product，可以从
线性算子的张量积的第二部分改编过来。
线性形式和对偶空间
未完成：要不要线性形式单独成章节？
定理 2
全体 $k$-线性形式构成的向量空间与 $(V^*)^{\otimes k}$（参考对偶空间）自然同构（不依赖基的选取）。
证明： $k$-线性形式构成的向量空间自然同构于 $(V^{\otimes k})^*$，它自然同构于 $(V^*)^{\otimes k}$。
证毕。
线性映射的张量幂
二次幂（平方）是张量积的一种特殊情况，具体而言，考虑线性映射 $f: V \to W$，它和它自己的张量积为
\begin{equation}
f \otimes f: V \otimes V \to W \otimes W~.
\end{equation}
更一般的，$f$ 的 $n$ 阶张量幂为
\begin{equation}
f^{\otimes n}: V^{\otimes n} \to W^{\otimes n}~.
\end{equation}
1. ^ 更严格的写法应该是 $\sum_i v_i \otimes v_i' \mapsto \sum_i f(v_i) \otimes g(v_i')$，不过本文的所有映射都是线性映射，所以只需要定义一组基的线性变换即可。
2. ^ 用更严谨的说法是，它们之间存在一个（典范的）线性映射。