贡献者： _Eden_
我们先列举几个函数极限的基本性质，由于它们的几何直观非常明显，这里不予证明。读者可以根据函数极限的定义尝试进行证明，练习用 $\epsilon$-$\delta$ 语言证明函数极限的性质。
定理 1 函数极限的唯一性
若函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处极限存在，则在 $x_0$ 处极限唯一。
定理 2 局部保序性
设函数 $f(x),g(x)$ 在 $x_0$ 处极限存在，若 $f(x)\le g(x)$ 对任意的 $x\in U_0(x_0,\delta_0)$ 成立，那么 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0} f(x)\le \lim\limits_{x\rightarrow x_0}g(x)$。
定理 3 局部保号性
设函数 $f(x)$，若 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=A>0$，那么存在 $x_0$ 的一个去心邻域 $U_0(x_0,\delta)$，满足对任意 $x\in U_0(x_0,\delta)$，都有 $f(x)>0$。
定理 4 局部有界性
设函数 $f(x)$，$\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)$ 存在（不为无穷大量），那么存在 $x_0$ 的一个去心邻域 $U_0(x_0,\delta)$，满足存在 $M>0$，对任意 $x\in U_0(x_0,\delta)$，都有 $|f(x)|< M$，即 $f(x)$ 在 $U_0(x_0,\delta)$ 上有界。
1. 函数极限的四则运算
设函数 $f(x),g(x)$，分别对于六种自变量的变化情况
\begin{equation}
x\rightarrow x_0;\ x\rightarrow x_0^+;\ x\rightarrow x_0^{-};\ x\rightarrow \infty;\ x\rightarrow +\infty;\ x\rightarrow -\infty~.
\end{equation}
若 $f(x)\rightarrow A,\ g(x)\rightarrow B$，那么可以证明
\begin{equation}
\begin{aligned}
&h_1(x)=f(x)+g(x)\rightarrow A+B~,\\
&h_2(x)=f(x)-g(x)\rightarrow A-B~,\\
&h_3(x)=f(x)\cdot g(x)\rightarrow A\cdot B\ (A\neq 0,B\neq 0)~,\\
&h_4(x)=f(x)/ g(x)\rightarrow A/B\ (B\neq 0)~.
\end{aligned}
\end{equation}
若广义极限 $A,B$ 为无穷大量，则可以规定一些特殊的四则运算，例如 $(+\infty)+(+\infty)=+\infty,\
(+\infty)\cdot (+\infty)=+\infty$ 等等。
习题 1
- 设函数 $f(x)$，若 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=A$，证明：对于任意 $r< A$，存在 $x_0$ 的一个去心邻域 $U_0(x_0,\delta)$，满足对任意的 $x\in U_0(x_0,\delta)$，都有 $f(x)>r$。（特别地，当 $r=0$ 时为局部保号性）
- 求 $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}(x^2+1)/(1-2x^2)$。
- 设函数 $f(x),g(x)$，若 $f(x)$ 在 $x_0=0$ 处极限为 $0$，而 $h(x)=f(x)/g(x)$ 在 $x_0=0$ 处极限为 $1$，证明 $g(x)$ 在 $x_0=0$ 处极限存在且也为 $0$。
2. 函数极限与序列极限的相似性
类似于序列极限，函数极限也有夹逼收敛原理：
定理 5 夹逼收敛原理
设函数 $f(x),h(x),g(x)$，
若 $f(x)\le h(x)\le g(x),\ \forall x\in U_0(x_0,\delta_0)$，且 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} g(x)=A$，那么 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0}h(x)=A$。
夹逼收敛定理可以根据函数极限的定义证明，读者可以尝试用 $\epsilon$-$\delta$ 语言进行叙述。
回顾函数极限的定义：设函数 $f(x)$ 在 $U_0(x_0,\delta_0)$ 内有定义。函数极限存在的定义是：存在 $A$，使得对任意 $\epsilon >0$, 存在 $\delta>0$，当 $x\in U_0(x_0,\delta)$ 时有 $|f(x)-A|<\epsilon$。函数极限不存在的定义：对任意 $A$，都存在 $\epsilon>0$，使得对任意 $\delta>0$，都存在 $x\in U_0(x_0,\delta)$ 满足 $|f(x)-A|\ge \epsilon$。
从定义上看，函数极限与序列极限存在某种联系，它们都有 “对任意……存在……当……满足” 这样的句式。两者的联系由以下的定理体现：
定理 6
设 $f(x)$ 在 $U_0(x_0,\delta_0)(\delta_0>0)$ 上有定义，则 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=A$ 成立的充要条件是：对于 $U_0(x_0,\delta_0)$ 内任意收敛于 $x_0$ 的序列 $\{x_n\}$，都有 $\lim\limits_{n\rightarrow \infty}f(x_n)=A$。
对于左右极限以及自变量趋向于无穷大的极限，也有类似的定理。
对于有特殊性质的函数，例如在 $x_0$ 的右去心邻域上单调递增，就容易猜测它在 $x_0$ 处的右极限（排除负无穷的情况）为这个右去心邻域上函数值的下确界。于是我们有以下定理：
定理 7
设 $f(x)$ 在 $U_0^+(x_0,\delta_0)(\delta_0>0)$ 上有定义，若 $f(x)$ 在 $U_0^+(x_0,\delta_0)$ 上单调递增，则
\begin{equation}
\lim\limits_{x\rightarrow x_0^+}f(x)=\inf\{f(x):x\in U_0^+(x_0,\delta_0)\}~.
\end{equation}
上式等号右边
下确界不存在，则 $f(x)$ 在 $x_0$ 的右极限为 $-\infty$。
若 $f(x)$ 在 $U_0^+(x_0,\delta_0)$ 上单调递减，则
\begin{equation}
\lim\limits_{x\rightarrow x_0^+}f(x)=\sup\{f(x):x\in U_0^+(x_0,\delta_0)\}~.
\end{equation}
上式等号右边
上确界不存在，则 $f(x)$ 在 $x_0$ 的右极限为 $+\infty$。
对于左极限与左去心邻域也有类似的定理。对广义极限该定理也成立。
序列收敛的判定定理有柯西收敛准则；而对于函数极限，也可以类似地写出这样的定理。
定理 8
设 $f(x)$ 在 $U_0(x_0,\delta_0)$ 内有定义，则 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)$ 存在的充要条件是：$\forall \epsilon>0,\exists\delta>0$，当 $x',x''\in U_0(x_0,\delta)$ 时，有 $|f(x')-f(x'')|<\epsilon$。
对于左极限与右极限，也有类似的定理。
习题 2
- 证明极限 $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \frac{x-1}{x+1}\cos 2\pi x$ 不存在。
- $f(x)= \sin\left(1/x\right) $，证明 $f(x)$ 在 $x_0=0$ 处极限不存在，在 $x_0\neq 0$ 处极限存在。
- 构造函数 $f(x)$，满足定义域为 $\mathbb{R}$，在 $x_0=0$ 处极限存在，而在 $x_0\neq 0$ 处极限不存在。
- 函数 $f(x)$ 在 $U(a,\delta_0)$ 上有定义，序列 $\{x_n\}$ 收敛于 $a$，则什么情况下 $\lim\limits_{n\rightarrow \infty}f(x_n)=f(a)$ 成立？
3. 复合函数的极限（初步思考与探索）
习题 3
思考：函数 $f(x)$ 在 $U(a,\delta_0)$ 上有定义，序列 $\{x_n\}$ 收敛于 $a$，则什么情况下 $\lim\limits_{n\rightarrow \infty}f(x_n)=f(a)$ 成立？
设 $f(x)=1/x,\ g(x)=x^2$
容易证明 $\lim\limits_{x\rightarrow 4}f(x)=1/4,\lim\limits_{x\rightarrow 2}g(x)=4$。
那么是否 $\lim\limits_{x\rightarrow 2}f(g(x))=f(\lim\limits_{x\rightarrow 2}g(x))=f(4)=1/4$ 呢？经验证是成立的。
我们自然地就想到，是否对于任何函数 $f(x),g(x)$，都满足 $\lim\limits_{x\rightarrow a}f(g(x))=f(\lim\limits_{x\rightarrow a}g(x))$。然而答案是否定的。这种复合函数的极限运算需要满足一些限制条件。
习题 4
$f(x)=[x],g(x)=1-x^2$，判断 $\lim\limits_{x\rightarrow 0}f(g(x)) $ 与 $f(\lim\limits_{x\rightarrow 0}g(x))$ 是否相等。
具体地，我们有以下定理：
定理 9 复合函数的极限
定理：$\lim\limits_{x\rightarrow x_0}g(x)=u_0$，$\lim\limits_{u\rightarrow u_0}f(u)=L$，并且存在 $x_0$ 一个去心邻域 $U_0(x_0,\delta)$，使得对任意 $x\in U_0(x_0,\delta)$，有 $g(x)\neq u_0$。那么 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(g(x))=\lim\limits_{u\rightarrow u_0}f(u)=L$。
4. 几个重要极限
习题 5
证明 $\lim\limits_{x\rightarrow a}\cos x=\cos a$，$\lim\limits_{x\rightarrow a}\sin x=\sin a$。（如果你学了函数的连续性，那么这个命题说的就是 $\sin x,\cos x$ 是连续函数。但为了严谨地说明这件事，我们不得不回归函数极限的定义。）
第一个重要极限：
\begin{equation}
\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1~.
\end{equation}
提示：先证不等式 $\cos x<\frac{\sin x}{x}<1$，用夹逼收敛原理。
第二个重要极限：
\begin{equation}
\lim\limits_{x\rightarrow \infty} \left(1+\frac{1}{x} \right) ^x=e~.
\end{equation}
提示：利用序列极限的结果式 4 和夹逼收敛原理。
利用以上两个结果，我们可以求更复杂的极限，例如：
\begin{equation}
\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{ \sin\left(\sin x\right) }{x},\ \lim\limits_{x\rightarrow 0}(1-2x)^{\frac{1}{x}}~.
\end{equation}
伍胜健《数学分析》上的证明利用了换元的操作：
\begin{equation}
\begin{aligned}
\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{ \sin\left(\sin x\right) }{x}&=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{ \sin\left(\sin x\right) }{\sin x}\cdot \lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}\\
&=\lim\limits_{y\rightarrow 0}\frac{\sin y}{y}\cdot \lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1~,\\
\lim\limits_{x\rightarrow 0}(1-2x)^{\frac{1}{x}}&=\lim\limits_{x\rightarrow 0} \left(1-\frac{1}{1/2x} \right) ^{(-1/2x)\cdot (-2)}\\&= \left(\lim\limits_{x\rightarrow 0} \left(1-\frac{1}{1/2x} \right) ^{(-1/2x)} \right) ^{-2}
\\&=\left(\lim\limits_{y\rightarrow \infty} \left(1+\frac{1}{y} \right) ^{y}\right)^{-2}=e^{-2}~.
\end{aligned}
\end{equation}
上面的证明中，有将 $\sin x$ 替换为了 $y$，再对 $y\rightarrow 0$ 取函数极限；有将 $1/2x$ 替换为 $y$，再对 $y\rightarrow \infty$ 取函数极限。我们称这种方法为
换元。然而为什么能够换元呢？
这本质上是利用了复合函数的极限的性质定理 9 。
5. 函数的上下极限
可以模仿序列的上下极限给出函数上下极限的定义：
设函数 $f(x)$ 在 $U_0(x_0,\delta_0)$ 处有定义。对任意 $0<\delta<\delta_0$，设
$$
l(\delta)=\inf\{f(x):x\in U_0(x_0,\delta)\}~,\\
h(\delta)=\sup\{f(x):x\in U_0(x_0,\delta)\}~,
$$
那么令 $l=\lim\limits_{\delta\rightarrow 0}l(\delta), h=\lim\limits_{\delta\rightarrow 0}h(\delta)$，
称 $l$ 为下极限 $ \operatorname {\underline\lim}\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)$，$h$ 为上极限 $ \operatorname {\overline\lim}\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)$。
可以证明 $l=\sup\{l(\delta):0<\delta<\delta_0\},h=\inf\{h(\delta):0<\delta<\delta_0\}$。
可以利用函数的上下极限描述函数极限存在的充要条件。
定理 10
设函数 $f(x)$ 在 $U_0(x_0,\delta_0)$ 内有定义，则 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)$ 存在的充要条件为 $ \operatorname {\underline \lim}\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)= \operatorname {\overline\lim}\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)$。