函数极限的性质

贡献者： _Eden_

预备知识　函数的极限

　　我们先列举几个函数极限的基本性质，由于它们的几何直观非常明显，这里不予证明。读者可以根据函数极限的定义尝试进行证明，练习用 $ϵ$ - $δ$ 语言证明函数极限的性质。

定理 1　函数极限的唯一性

　　若函数 $f (x)$ 在 $x_{0}$ 处极限存在，则在 $x_{0}$ 处极限唯一。

定理 2　局部保序性

　　设函数 $f (x), g (x)$ 在 $x_{0}$ 处极限存在，若 $f (x) \leq g (x)$ 对任意的 $x \in U_{0} (x_{0}, δ_{0})$ 成立，那么 $lim_{x \to x_{0}} f (x) \leq lim_{x \to x_{0}} g (x)$ 。

定理 3　局部保号性

　　设函数 $f (x)$ ，若 $lim_{x \to x_{0}} f (x) = A > 0$ ，那么存在 $x_{0}$ 的一个去心邻域 $U_{0} (x_{0}, δ)$ ，满足对任意 $x \in U_{0} (x_{0}, δ)$ ，都有 $f (x) > 0$ 。

定理 4　局部有界性

　　设函数 $f (x)$ ， $lim_{x \to x_{0}} f (x)$ 存在（不为无穷大量），那么存在 $x_{0}$ 的一个去心邻域 $U_{0} (x_{0}, δ)$ ，满足存在 $M > 0$ ，对任意 $x \in U_{0} (x_{0}, δ)$ ，都有 $| f (x) | < M$ ，即 $f (x)$ 在 $U_{0} (x_{0}, δ)$ 上有界。

1. 函数极限的四则运算

　　设函数 $f (x), g (x)$ ，分别对于六种自变量的变化情况

\begin{matrix} (1) & x \to x_{0}; x \to x_{0}^{+}; x \to x_{0}^{-}; x \to \infty; x \to + \infty; x \to - \infty . \end{matrix}

若

f (x) \to A, g (x) \to B

，那么可以证明

\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} h_{1} (x) = f (x) + g (x) \to A + B, \\ h_{2} (x) = f (x) - g (x) \to A - B, \\ h_{3} (x) = f (x) \cdot g (x) \to A \cdot B (A \neq 0, B \neq 0), \\ h_{4} (x) = f (x) / g (x) \to A / B (B \neq 0) . \end{aligned} \end{matrix}

若广义极限

A, B

为无穷大量，则可以规定一些特殊的四则运算，例如

(+ \infty) + (+ \infty) = + \infty, (+ \infty) \cdot (+ \infty) = + \infty

等等。

习题 1　

设函数 $f (x)$ ，若 $lim_{x \to x_{0}} f (x) = A$ ，证明：对于任意 $r < A$ ，存在 $x_{0}$ 的一个去心邻域 $U_{0} (x_{0}, δ)$ ，满足对任意的 $x \in U_{0} (x_{0}, δ)$ ，都有 $f (x) > r$ 。（特别地，当 $r = 0$ 时为局部保号性）
求 $lim_{x \to + \infty} (x^{2} + 1) / (1 - 2 x^{2})$ 。
设函数 $f (x), g (x)$ ，若 $f (x)$ 在 $x_{0} = 0$ 处极限为 $0$ ，而 $h (x) = f (x) / g (x)$ 在 $x_{0} = 0$ 处极限为 $1$ ，证明 $g (x)$ 在 $x_{0} = 0$ 处极限存在且也为 $0$ 。

2. 函数极限与序列极限的相似性

　　类似于序列极限，函数极限也有夹逼收敛原理：

定理 5　夹逼收敛原理

　　设函数 $f (x), h (x), g (x)$ ，

　　若 $f (x) \leq h (x) \leq g (x), \forall x \in U_{0} (x_{0}, δ_{0})$ ，且 $lim_{x \to x_{0}} f (x) = lim_{x \to x_{0}} g (x) = A$ ，那么 $lim_{x \to x_{0}} h (x) = A$ 。

　　夹逼收敛定理可以根据函数极限的定义证明，读者可以尝试用 $ϵ$ - $δ$ 语言进行叙述。

　　 回顾函数极限的定义：设函数 $f (x)$ 在 $U_{0} (x_{0}, δ_{0})$ 内有定义。函数极限存在的定义是：存在 $A$ ，使得对任意 $ϵ > 0$ , 存在 $δ > 0$ ，当 $x \in U_{0} (x_{0}, δ)$ 时有 $| f (x) - A | < ϵ$ 。函数极限不存在的定义：对任意 $A$ ，都存在 $ϵ > 0$ ，使得对任意 $δ > 0$ ，都存在 $x \in U_{0} (x_{0}, δ)$ 满足 $| f (x) - A | \geq ϵ$ 。

　　从定义上看，函数极限与序列极限存在某种联系，它们都有 “对任意……存在……当……满足” 这样的句式。两者的联系由以下的定理体现：

定理 6　

　　设 $f (x)$ 在 $U_{0} (x_{0}, δ_{0}) (δ_{0} > 0)$ 上有定义，则 $lim_{x \to x_{0}} f (x) = A$ 成立的充要条件是：对于 $U_{0} (x_{0}, δ_{0})$ 内任意收敛于 $x_{0}$ 的序列 ${x_{n}}$ ，都有 $lim_{n \to \infty} f (x_{n}) = A$ 。

　　对于左右极限以及自变量趋向于无穷大的极限，也有类似的定理。

　　对于有特殊性质的函数，例如在 $x_{0}$ 的右去心邻域上单调递增，就容易猜测它在 $x_{0}$ 处的右极限（排除负无穷的情况）为这个右去心邻域上函数值的下确界。于是我们有以下定理：

定理 7　

　　设 $f (x)$ 在 $U_{0}^{+} (x_{0}, δ_{0}) (δ_{0} > 0)$ 上有定义，若 $f (x)$ 在 $U_{0}^{+} (x_{0}, δ_{0})$ 上单调递增，则

\begin{matrix} (3) & lim_{x \to x_{0}^{+}} f (x) = inf {f (x) : x \in U_{0}^{+} (x_{0}, δ_{0})} . \end{matrix}

若上式等号右边下确界不存在，则

f (x)

在

x_{0}

的右极限为

- \infty

。

　　若 $f (x)$ 在 $U_{0}^{+} (x_{0}, δ_{0})$ 上单调递减，则

\begin{matrix} (4) & lim_{x \to x_{0}^{+}} f (x) = sup {f (x) : x \in U_{0}^{+} (x_{0}, δ_{0})} . \end{matrix}

若上式等号右边上确界不存在，则

f (x)

在

x_{0}

的右极限为

+ \infty

。

　　对于左极限与左去心邻域也有类似的定理。对广义极限该定理也成立。

　　序列收敛的判定定理有柯西收敛准则；而对于函数极限，也可以类似地写出这样的定理。

定理 8　

　　设 $f (x)$ 在 $U_{0} (x_{0}, δ_{0})$ 内有定义，则 $lim_{x \to x_{0}} f (x)$ 存在的充要条件是： $\forall ϵ > 0, \exists δ > 0$ ，当 $x^{'}, x^{″} \in U_{0} (x_{0}, δ)$ 时，有 $| f (x^{'}) - f (x^{″}) | < ϵ$ 。

　　对于左极限与右极限，也有类似的定理。

习题 2　

证明极限 $lim_{x \to + \infty} \frac{x - 1}{x + 1} \cos 2 π x$ 不存在。
$f (x) = \sin (1 / x)$ ，证明 $f (x)$ 在 $x_{0} = 0$ 处极限不存在，在 $x_{0} \neq 0$ 处极限存在。
构造函数 $f (x)$ ，满足定义域为 $R$ ，在 $x_{0} = 0$ 处极限存在，而在 $x_{0} \neq 0$ 处极限不存在。
函数 $f (x)$ 在 $U (a, δ_{0})$ 上有定义，序列 ${x_{n}}$ 收敛于 $a$ ，则什么情况下 $lim_{n \to \infty} f (x_{n}) = f (a)$ 成立？

3. 复合函数的极限（初步思考与探索）

习题 3　

　　思考：函数 $f (x)$ 在 $U (a, δ_{0})$ 上有定义，序列 ${x_{n}}$ 收敛于 $a$ ，则什么情况下 $lim_{n \to \infty} f (x_{n}) = f (a)$ 成立？

　　设 $f (x) = 1 / x, g (x) = x^{2}$

　　容易证明 $lim_{x \to 4} f (x) = 1 / 4, lim_{x \to 2} g (x) = 4$ 。

　　那么是否 $lim_{x \to 2} f (g (x)) = f (lim_{x \to 2} g (x)) = f (4) = 1 / 4$ 呢？经验证是成立的。

　　我们自然地就想到，是否对于任何函数 $f (x), g (x)$ ，都满足 $lim_{x \to a} f (g (x)) = f (lim_{x \to a} g (x))$ 。然而答案是否定的。这种复合函数的极限运算需要满足一些限制条件。

习题 4　

　　 $f (x) = [x], g (x) = 1 - x^{2}$ ，判断 $lim_{x \to 0} f (g (x))$ 与 $f (lim_{x \to 0} g (x))$ 是否相等。

　　具体地，我们有以下定理：

定理 9　复合函数的极限

　　定理： $lim_{x \to x_{0}} g (x) = u_{0}$ ， $lim_{u \to u_{0}} f (u) = L$ ，并且存在 $x_{0}$ 一个去心邻域 $U_{0} (x_{0}, δ)$ ，使得对任意 $x \in U_{0} (x_{0}, δ)$ ，有 $g (x) \neq u_{0}$ 。那么 $lim_{x \to x_{0}} f (g (x)) = lim_{u \to u_{0}} f (u) = L$ 。

4. 几个重要极限

习题 5　

　　证明 $lim_{x \to a} \cos x = \cos a$ ， $lim_{x \to a} \sin x = \sin a$ 。（如果你学了函数的连续性，那么这个命题说的就是 $\sin x, \cos x$ 是连续函数。但为了严谨地说明这件事，我们不得不回归函数极限的定义。）

　　 第一个重要极限：

\begin{matrix} (5) & lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 . \end{matrix}

　　 提示：先证不等式 $\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1$ ，用夹逼收敛原理。

　　 第二个重要极限：

\begin{matrix} (6) & lim_{x \to \infty} {(1 + \frac{1}{x})}^{x} = e . \end{matrix}

　　提示：利用序列极限的结果式 4 和夹逼收敛原理。

　　利用以上两个结果，我们可以求更复杂的极限，例如：

\begin{matrix} (7) & lim_{x \to 0} \frac{\sin (\sin x)}{x}, lim_{x \to 0} (1 - 2 x)^{\frac{1}{x}} . \end{matrix}

伍胜健《数学分析》上的证明利用了换元的操作：

\begin{matrix} (8) & \begin{aligned} lim_{x \to 0} \frac{\sin (\sin x)}{x} & = lim_{x \to 0} \frac{\sin (\sin x)}{\sin x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \\ = lim_{y \to 0} \frac{\sin y}{y} \cdot lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1, \\ lim_{x \to 0} (1 - 2 x)^{\frac{1}{x}} & = lim_{x \to 0} {(1 - \frac{1}{1 / 2 x})}^{(- 1 / 2 x) \cdot (- 2)} \\ = {(lim_{x \to 0} {(1 - \frac{1}{1 / 2 x})}^{(- 1 / 2 x)})}^{- 2} \\ = {(lim_{y \to \infty} {(1 + \frac{1}{y})}^{y})}^{- 2} = e^{- 2} . \end{aligned} \end{matrix}

上面的证明中，有将

\sin x

替换为了

y

，再对

y \to 0

取函数极限；有将

1 / 2 x

替换为

y

，再对

y \to \infty

取函数极限。我们称这种方法为换元。然而为什么能够换元呢？

　　这本质上是利用了复合函数的极限的性质定理 9 。

5. 函数的上下极限

　　可以模仿序列的上下极限给出函数上下极限的定义：

　　设函数 $f (x)$ 在 $U_{0} (x_{0}, δ_{0})$ 处有定义。对任意 $0 < δ < δ_{0}$ ，设 $l (δ) = inf {f (x) : x \in U_{0} (x_{0}, δ)}, h (δ) = sup {f (x) : x \in U_{0} (x_{0}, δ)},$ 那么令 $l = lim_{δ \to 0} l (δ), h = lim_{δ \to 0} h (δ)$ ，

　　称 $l$ 为下极限 ${lim_{―}}_{x \to x_{0}} f (x)$ ， $h$ 为上极限 ${lim^{―}}_{x \to x_{0}} f (x)$ 。

　　可以证明 $l = sup {l (δ) : 0 < δ < δ_{0}}, h = inf {h (δ) : 0 < δ < δ_{0}}$ 。

　　可以利用函数的上下极限描述函数极限存在的充要条件。

定理 10　

　　设函数 $f (x)$ 在 $U_{0} (x_{0}, δ_{0})$ 内有定义，则 $lim_{x \to x_{0}} f (x)$ 存在的充要条件为 ${lim_{―}}_{x \to x_{0}} f (x) = {lim^{―}}_{x \to x_{0}} f (x)$ 。

函数极限的性质

定理 1 函数极限的唯一性

定理 2 局部保序性

定理 3 局部保号性

定理 4 局部有界性

1. 函数极限的四则运算

习题 1

2. 函数极限与序列极限的相似性

定理 5 夹逼收敛原理

定理 6

定理 7

定理 8

习题 2

3. 复合函数的极限（初步思考与探索）

习题 3

习题 4

定理 9 复合函数的极限

4. 几个重要极限

习题 5

5. 函数的上下极限

定理 10

定理 1　函数极限的唯一性

定理 2　局部保序性

定理 3　局部保号性

定理 4　局部有界性

习题 1　

定理 5　夹逼收敛原理

定理 6　

定理 7　

定理 8　

习题 2　

习题 3　

习题 4　

定理 9　复合函数的极限

习题 5　

定理 10　