贡献者： _Eden_; Giacomo
1. 自然常数的定义
定义 1 自然常数
定义序列 $ \left(1+\frac{1}{n} \right) ^n$ 的极限为自然常数，即自然对数的底数，常记为 $ \mathrm{e} $.
证明 $(1+\frac{1}{n})^n$ 的敛散性需要用到数列极限的性质。
记 $x_n=(1+\frac{1}{n})^n, n\in \mathbb{N}$，那么（由均值不等式）可以推出
\begin{equation}
\frac{x_{n+1}}{x_n}=\frac{(n+2)^{n+1}n^{n}}{(n+1)^{2n+1}}>1~,
\end{equation}
所以 $\{x_n\}$ 是单调递增序列。
如果能再证明该序列的有界性，就可以由单调收敛定理 证明它是收敛的。
由二项式定理：
\begin{equation}
\begin{aligned}
x_n&=1+{n\choose 1}\frac{1}{n}+{n\choose 2}\frac{1}{n^2}+\cdots+{n\choose n}\frac{1}{n^n}\\
&<1+1+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!}\\
&\leq1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdot\cdot\cdot+\frac{1}{2^{n-1}}\\
&<3~,
\end{aligned}
\end{equation}
这样就能推出 $\{x_n\}$ 的有界性。由此我们证明了，序列 $\{x_n=(1+\frac{1}{n})^n\}$ 是单调递增且有上界的，因此它收敛
2. 自然常数的性质
记 $x_n=(1+\frac{1}{n})^n,y_n=(1+\frac{1}{n})^{n+1}, n\in \mathbb{N}$。我们已经分析过序列 $\{x_n\}$ 的性质，现在来考察 $\{y_n\}$ 的性质。
\begin{equation}
\begin{aligned}
\frac{y_n}{y_{n+1}}&=\frac{(n+1)^{2n+3}}{n^{n+1}(n+2)^{n+2}}=\left(\frac{n^2+2n+1}{n^2+2n}\right)^{n+1}\frac{n+1}{n+2}\\
&=(1+\frac{1}{n^2+2n})^{n+1}\frac{n+1}{n+2}>\left(1+\frac{n+1}{n^2+2n}\right)\frac{n+1}{n+2} \text{（伯努利不等式）}\\
&=\frac{n^3+4n^2+4n+1}{n^3+4n^2+4n}>1~.
\end{aligned}
\end{equation}
再由 $x_n< y_n$ 可知：$\{y_n\}$ 单调下降有下界，$\{x_n\}$ 单调上升有上界，两个序列极限存在。
又因为 $\lim\limits_{n\rightarrow \infty} x_n/y_n = 1$，所以两个序列极限相等，都是自然常数 $e$：
\begin{equation}
\lim\limits_{n\rightarrow \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n=\lim\limits_{n\rightarrow \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}=e~,
\end{equation}
现在来考察另一个序列 $S_n=1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots+\frac{1}{n!}$。式 2 已经证明了 $x_n< S_n<3$。容易证明 $\{S_n\}$ 单调递增有上界，因此 $\{S_n\}$ 也有极限。
利用二项式定理，通过不懈的努力（利用序列极限的性质），可以证明 $\{S_n\}$ 的极限就等于自然常数。这也暗示了 $e^x$ 的泰勒展开公式就是
\begin{equation}
e^x=1+x+\frac{1}{2!}x^2+\cdots+\frac{1}{n!}x^n +o(x^n)~.
\end{equation}
3. 自然对数函数
我们定义：当 $f(x)=e^x$，的反函数为 $f'(x)= \ln\left(x\right) $。即 $ \ln\left(e^x\right) =x$。
对不等式 $x_n< e< y_n$ 两边取 $\ln$，我们可以得到不等式：
\begin{equation}
n\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)<1<(n+1)\ln\left(1+\frac{1}{n}\right), \forall n \in \mathbb{N}~.
\end{equation}