贡献者： _Eden_; ACertainUser
1. 傅里叶传导定律
定义热流密度 $ \boldsymbol{\mathbf{h}} $：单位时间单位面积的热流量。傅里叶热传导定律说的是
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{h}} = -\kappa \boldsymbol{\mathbf{\nabla}} T~,
\end{equation}
其中 $\kappa$ 为系统的热导率。这意味着热量会沿温度梯度的方向传导。
如果简化系统模型，设各层温度不均匀，在同一个高度上各处温度相等。那么傅里叶热传导定律可以简化为
\begin{equation}
H=\frac{\Delta Q}{\Delta t}=-\kappa \frac{ \,\mathrm{d}{T} }{ \,\mathrm{d}{z} }S~.
\end{equation}
再考虑一般的情况：三维热传导方程。由于单位体积内需要吸收 $c\rho \Delta T$ 的热量才能升高 $\Delta T$ 的温度，所以可以得到积分关系式
\begin{equation}
\int_V c\rho \frac{\partial T}{\partial t} \,\mathrm{d}{V} = \int_V \frac{\partial U}{\partial t} \,\mathrm{d}{V} = \oint_S \kappa \boldsymbol{\mathbf{\nabla}} T \cdot \boldsymbol{\mathbf{ \,\mathrm{d}{}} } S~.
\end{equation}
由此可以得到微分表达式 $c\rho \frac{\partial T}{\partial t} = \kappa \nabla^2 T$，即
\begin{equation}
\frac{\partial T}{\partial t}=k\nabla^2 T~,
\end{equation}
其中 $k=\kappa/c\rho$ 称作热扩散率。
注意上面讨论的是没有热源、热扩散系数处处相等的情况。如果有热源，则方程右端要加上 $Q$。如果热扩散系数并不处处相等，例如两个不同的介质的交界处，往往要对此设定边界条件——例如一维杆两端与空气接触的热对流现象、开水与空气接触时逐渐散热的现象等；在这类边界上如果温度差不大，有牛顿冷却定律成立：热流密度 $ \boldsymbol{\mathbf{h}} $ 与温度的梯度成正比，但这个比例系数将与各种复杂的因素有关。
例 1 平衡温度分布
一维杆 $0\le x\le L$，左端右端与恒温热源接触，左端温度恒为 $T_1$，右端温度为 $T_2$，中间部分绝热。求其平衡温度分布。
平衡态热流处处为 $0$，所以 $\nabla^2 T=0$，即 $\partial^2 T/\partial x^2=0$，所以 $T$ 关于 $x$ 的函数是一次函数。
\begin{equation}
T(x)=T_1+\frac{T_2-T_1}{L}x~.
\end{equation}
图 1：平衡温度分布
例 2 恒源扩散
一维杆 $0\le x\le +\infty$，初始温度（与无穷远处温度）为 $T_0$，左端与恒温热源 $T_s$ 接触，求杆各处温度随时间的变化。
解微分方程，得
\begin{equation}
T(x,t)=T_0+(T_s-T_0)\left(1-erf\left(\frac{x}{2\sqrt{kt}}\right)\right)~,
\end{equation}
其中 $erf(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int^x_0 e^{-t^2} \,\mathrm{d}{t} $ 被称为高斯误差函数（很遗憾，这个积分没有初等形式的表达式）
2. 传递过程
当系统处于非平衡态时，会自发地向平衡态过度，从而产生动量、能量、质量等宏观的流动，这些过程统称为耗散过程。传递过程（也叫输运过程）在微观上就是耗散过程。例如当热学平衡条件不满足时，有温度梯度，从而有热传导方程（能量的传递）；力学平衡条件不满足时，有粘滞现象（动量的传递），从而有牛顿粘滞定律；化学平衡条件不满足时，有扩散现象（质量的传递），从而有菲克（Fick）扩散定律。我们先给出这三个定律的表达式：
\begin{align}
h=-\kappa \frac{ \,\mathrm{d}{T} }{ \,\mathrm{d}{z} }~,\\
J_p=-\eta \frac{ \,\mathrm{d}{u} }{ \,\mathrm{d}{z} }~,\\
J_M=-D\frac{ \,\mathrm{d}{\rho} }{ \,\mathrm{d}{z} }~.
\end{align}
其中菲克定律的 $J_M$ 为质量流密度，该方程能很好地解释气体扩散现象，但对于液体并不成立，原因是液体分子不像气体分子那样自由运动。但该方程也能描述液体中粒子的浓度差带来的扩散现象，例如墨汁在水中的扩散，葡萄糖分子在水中的扩散等。
其中牛顿粘滞方程的 $J_p$ 为动量流密度，一些参考文献上将粘滞定律写作 $\tau = -\mu \frac{ \,\mathrm{d}{u} }{ \,\mathrm{d}{z} }$，其中 $\tau$ 为剪应力，该方程则表达了剪应力与流体速度场的梯度成正比。这些方程从直观上是容易想象的，虽然宏观上代表不同的现象，但其方程形式却是相同的。在词条 “气体输运过程”中，我们将发现这三种输运过程在微观上的机制本质是相同的。
例 3 菲克第二定律：扩散方程
类似于温度的 式 3 ，物质扩散过程中我们有局域物质守恒。局域物质守恒意味着一定时间内离开或进入某个区域的物质总量，等于该时间内这个区域内物质的变化量：
\begin{equation}
\frac{\partial \rho}{\partial t} + \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{J}} = 0~,
\end{equation}
向守恒方程带入上述的菲克扩散定律（也称菲克第一定律）$ \boldsymbol{\mathbf{J}} _M=-D \boldsymbol\nabla \rho$ ($J_M=-D \frac{\mathrm{d}{\rho}}{\mathrm{d}{z}} $ 的一般形式)，就可以得到菲克第二定律，即我们熟知的扩散方程。形式上这与
式 4 类似：
\begin{equation}
\frac{\partial \rho}{\partial t} - D \nabla^2 \rho = 0~,
\end{equation}
在一维情况下，
\begin{equation}
\frac{\partial \rho}{\partial t} - D \frac{\partial^{2}{\rho}}{\partial{z}^{2}} = 0~.
\end{equation}
