贡献者： int256
预备知识 测地线
，世界线与固有时
，
Christoffel 符号，自然单位制、普朗克单位制
1. 施瓦西度规下时空的测地线
回顾施瓦西度规
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{s} ^2 = -\left(c^2 - \frac{2GM}{r}\right) \,\mathrm{d}{t} ^2+ \left(1-\frac{2GM}{r c^2}\right)^{-1} \,\mathrm{d}{r} ^2 + r^2( \,\mathrm{d}{\theta} ^2 + \sin^2 \theta \,\mathrm{d}{\varphi} ^2) ~,
\end{equation}
与其 Christoffel 符号（用 $x^0$ 代表时间坐标 $t$，$x^1$ 代表 $r$，$x^2$ 代表 $\theta$，$x^3$ 代表 $\varphi$，使用自然单位制 $G=1, c=1$）
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
\Gamma^0_{01} &= \Gamma^0_{10} = (M/r)(1-2M/r)^{-1},\\
\Gamma^1_{00} &= (M/r^2)(1-2M/r),\\
\Gamma^1_{11} &= -(M/r^2)(1-2M/r)^{-1},\\
\Gamma^1_{22} &= -r(1-2M/r),\\
\Gamma^1_{33} &= -r(1-2M/r)\sin^2 \theta,\\
\Gamma^2_{12} &= \Gamma^2_{21} = 1/r, \\
\Gamma^2_{33} &= -\sin \theta \cos \theta, \\
\Gamma^3_{13} &= \Gamma^3_{31} = 1/r, \\
\Gamma^3_{23} &= \Gamma^3_{32} = \cot \theta ~.
\end{aligned}\right. ~~
\end{equation}
以及度规降指标后的黎曼曲率张量 $R_{ijkm}$
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
R_{0101} &= -2M/r^3,\\
R_{0202} &= (M/r)(1-2M/r),\\
R_{0303} &= (M/r)(1-2M/r)\sin^2 \theta,\\
R_{1212} &= -(M/r)(1-2M/r)^{-1},\\
R_{1313} &= -(M/r)(1-2M/r)^{-1} \sin^2 \theta,\\
R_{2323} &= 2M r \sin^2 \theta .
\end{aligned}\right. ~~
\end{equation}
这指出在大天体 $M$ 附近的时空的情况。
而考虑对于一条类时的测地线 $\gamma(\tau)$，其中 $\tau$ 是固有时，若要求分量的参数表达式 $x^\mu(\tau)$ 则是要解测地线方程
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}^{2}{x^\mu}}{\mathrm{d}{\tau}^{2}} + \Gamma^{\mu}_{\nu \lambda} \frac{\mathrm{d}{x^\nu}}{\mathrm{d}{\tau}} \frac{\mathrm{d}{x^\lambda}}{\mathrm{d}{\tau}} = 0~.
\end{equation}
其中 $\Gamma^\mu_{\nu \lambda}$ 是 Christoffel 符号。
而对于施瓦西度规下的时空，由于对称性，总可以选取某个坐标系使得 $\gamma(\tau)$ 的 $\theta$ 值恒为 $\pi/2$，即这类时测地线总在赤道面内。利用这性质，考虑 $\theta$ 应满足的测地线方程是
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}^{2}{\theta}}{\mathrm{d}{\tau}^{2}} + \frac{2}{r} \frac{\mathrm{d}{r}}{\mathrm{d}{\tau}} \frac{\mathrm{d}{\theta}}{\mathrm{d}{\tau}} - \sin \theta \cos \theta \left( \frac{\mathrm{d}{\theta}}{\mathrm{d}{\tau}} \right)^{-1} = 0 ~.
\end{equation}
而考虑参数方程 $t = t(\tau)$，$r = r(\tau)$，$\theta = \pi/2$，$\varphi = \varphi(\tau)$ 与 $\gamma(\tau)$ 的切矢量 $T^\mu = (\partial/\partial \tau)^\mu$。取 $\kappa = -g_{\mu\nu} T^\mu T^\nu$，则对于类时测地线 $\kappa = 1$，且利用施瓦西度规可以直接得到
\begin{equation}
-\kappa = -\left(1 - \frac{2M}{r}\right)\left( \frac{\mathrm{d}{t}}{\mathrm{d}{\tau}} \right)^2 + \left(1-\frac{2M}{r}\right)^{-1} \left( \frac{\mathrm{d}{r}}{\mathrm{d}{\tau}} \right)^2 + r^2 \left( \frac{\mathrm{d}{\varphi}}{\mathrm{d}{\tau}} \right)^2 ~.
\end{equation}
而若取 $E = (1-2M/r) \mathrm{d}{t}/\mathrm{d}{\tau} $ 与 $L = r^2 \mathrm{d}{\varphi}/\mathrm{d}{\tau} $，则可改写为
\begin{equation}
-\kappa = -\left(1-\frac{2M}{r}\right)^{-1} E^2 + \left(1-\frac{2M}{r}\right)^{-1} \left( \frac{\mathrm{d}{r}}{\mathrm{d}{\tau}} \right)^2 + L^2/r^2 ~,
\end{equation}
可以证明，$E$ 是在那点处单位质量的引力势能，而 $L$ 则是单位质量的角动量。
2. 应用：水星近日进动
我们曾在狭义相对论效应造成的近日进动中讨论了狭义相对论的影响，下面用广义相对论进行理论预测。对于类时测地线 $\kappa = 1$，从而可以通过两边同时除以 $( \mathrm{d}{\varphi}/\mathrm{d}{r} )^2$ 将式 7 改写为
\begin{equation}
\left( \frac{\mathrm{d}{r}}{\mathrm{d}{\varphi}} \right)^{-1} - E^2r^4/L^2 + r^2 \left( 1+r^2/L^2 \right)\left(1 - 2M/r\right) = 0 ~.
\end{equation}
其中利用了 $L = r^2 \mathrm{d}{\varphi}/\mathrm{d}{r} $。
仍考虑中心天体问题中的常见代换 $u = 1/r$ 会得到
\begin{equation}
\left( \frac{\mathrm{d}{u}}{\mathrm{d}{\varphi}} \right)^2 + u^2 = (E^2-1)/L^2 + 2Mu/L^2 + 2Mu^3 ~.
\end{equation}
等式两侧可以同时对 $\varphi$ 求导得到
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}^{2}{u}}{\mathrm{d}{\varphi}^{2}} + u = \frac{M}{L^2} + 3M u^2 ~.
\end{equation}
这与常规的预测多了 $3Mu^2$ 项，便是广义相对论的修正。而由于水星与太阳的体系中 $M/r \ll 1$，从而 $3Mu^2 \ll u$。可以取近似解，先用常规预测出的轨道
\begin{equation}
u_0(\varphi) = \frac{M}{L^2}(1 + e \cos \varphi) ~~
\end{equation}
作为零阶近似并代入
式 10 后得到一阶近似 $u_1(\varphi)$ 的解：
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}^{2}{u_1}}{\mathrm{d}{\varphi}^{2}} + u_1 = M/L^2 + 3M u_0^2 ~,
\end{equation}
会得到解是
\begin{equation}
u_1(\varphi) = u_0(\varphi) + \frac{3M^3}{L^4} \left( 1 + e\varphi \sin \varphi + e^2\left( \frac12 - \frac16 \cos\left(2\varphi\right) \right) \right) ~.
\end{equation}
估计近日点进动时候可以忽略 $e\varphi \sin \varphi$ 以外的项而
\begin{equation}
u_1(\varphi) = \frac{M}{L^2} \left( 1 + e\left(\cos \varphi + \frac{3M^2}{L^2} \varphi \sin \varphi \right) \right) ~.
\end{equation}
而由于 $u_0(\varphi) = (M/L^2) (1+e\cos \varphi)$，这指出近日点处可以估计 $M/L^2 \sim u$，从而 $M^2/L^2 \ll 1$。取小量 $a = 3M^2/L^2$ 则 $ \cos\left(a\varphi\right) \approx 1$ 而 $ \sin\left(a \varphi\right) \approx a\varphi$，从而可以改写轨道方程为
\begin{equation}
\frac{1}{\varphi} \approx u_1(\varphi) \approx \frac{M}{L^2} (1 + e \cos\left(\varphi - a \varphi\right) ) ~.
\end{equation}
为此我们考虑近日点处的进动，近日点是 $r$ 最小处，即 $ \cos\left(\varphi - a\varphi\right) = 1$，而 $\varphi=0$ 是但 $\varphi=2\pi$ 时就不再一定是了，此时
\begin{equation}
\cos\left(\varphi - a\varphi\right) = \cos\left(2\pi - 2a\pi\right) \neq 1 ~,
\end{equation}
考虑接近这值的有解 $\varphi'$ 是近日点，则 $\varphi' - a \varphi' = 2\pi$，即 $(1 - a) \varphi' = 2\pi$，从而可以近似解为 $\varphi' \approx 2\pi (1 + a)$。也就是说进动
\begin{equation}
\varphi' - \varphi \approx 2a\pi = 6\pi M^2/L^2 ~.
\end{equation}
代入水星数据可以得到是 $43''$ 每世纪，是非常接近的结果。