多元泰勒展开
贡献者： addis
多元泰勒展开公式如下
\begin{equation} \begin{aligned}
f( \boldsymbol{\mathbf{x}} ) &= f( \boldsymbol{\mathbf{r}} _0) + [( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} _0) \boldsymbol\cdot \boldsymbol\nabla ] f( \boldsymbol{\mathbf{r}} _0) + \frac{1}{2!} [( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} _0) \boldsymbol\cdot \boldsymbol\nabla ]^2 f( \boldsymbol{\mathbf{r}} _0) + \dots\\
&+ \frac{1}{n!} [( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} _0) \boldsymbol\cdot \boldsymbol\nabla ]^n f( \boldsymbol{\mathbf{r}} _0) + \mathcal{O}\left(x^{N+1} \right) ~.
\end{aligned} \end{equation}
例如对一元函数 $f(x)$ 第 $n$ 项为
\begin{equation}
\begin{aligned}
&\frac{1}{n!}[( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} _0) \boldsymbol\cdot \boldsymbol\nabla ]^n f( \boldsymbol{\mathbf{r}} _0) = \frac{1}{n!} \left[(x - x_0) \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}} \right] ^n f(x_0)\\
&= \frac{1}{n!} \left[(x - x_0)^n \frac{\mathrm{d}^{n}}{\mathrm{d}{x}^{n}} \right] f(x_0) = \frac{1}{n!}f^{(n)}(x_0)(x - x_0)^n~,
\end{aligned}
\end{equation}
这就回到了熟悉的一元
泰勒展开。
对多元函数，令 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} = (x_1, x_2, \dots)$，每一项的方括号中都是两个 “矢量” 的点乘
\begin{equation}
[( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} _0) \boldsymbol\cdot \boldsymbol\nabla ]^n = \left[(x_1-x_{10}) \frac{\partial}{\partial{x_1}} + (x_2-x_{20}) \frac{\partial}{\partial{x_2}} + \dots \right] ^n~.
\end{equation}
在拆括号后不仅会产生含有 $(x_i-x_{i0})^n \partial^{n}/\partial {x_i}^{n} $ 的项，还会有许多交叉项，即混合偏导。所以对于二元以上的函数，泰勒展开就会变得十分复杂。
对二元函数 $f(x, y)$，有
\begin{equation}
\begin{aligned}
&\quad f(x, y)\\
&= f + \left[(x - x_0) \frac{\partial}{\partial{x}} + (y - y_0) \frac{\partial}{\partial{y}} \right] f\\
& \quad + \frac{1}{2!} \left[(x - x_0) \frac{\partial}{\partial{x}} + (y - y_0) \frac{\partial}{\partial{y}} \right] ^2 f + \dots\\
&= f + \frac{\partial f}{\partial x} (x - x_0) + \frac{\partial f}{\partial y} (y - y_0)\\
&\quad + \frac{1}{2!} \frac{\partial^{2}{f}}{\partial{x}^{2}} (x - x_0)^2 + \frac{1}{2!} \frac{\partial^{2}{f}}{\partial{y}^{2}} (y - x_0)^2\\
&\quad + \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} (x-x_0)(y-y_0) + \dots
\end{aligned}~
\end{equation}
其中默认 $f$ 及其偏导在 $(x_0, y_0)$ 取值。