多元泰勒展开

贡献者： addis

预备知识　泰勒展开（简明微积分），梯度、梯度定理

　　多元泰勒展开公式如下

\begin{matrix} (1) & \begin{aligned} f (x) & = f (r_{0}) + [(r - r_{0}) \cdot \nabla] f (r_{0}) + \frac{1}{2!} [(r - r_{0}) \cdot \nabla]^{2} f (r_{0}) + \dots \\ + \frac{1}{n!} [(r - r_{0}) \cdot \nabla]^{n} f (r_{0}) + O (x^{N + 1}) . \end{aligned} \end{matrix}

　　例如对一元函数 $f (x)$ 第 $n$ 项为

\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} \frac{1}{n!} [(r - r_{0}) \cdot \nabla]^{n} f (r_{0}) = \frac{1}{n!} {[(x - x_{0}) \frac{d}{d x}]}^{n} f (x_{0}) \\ = \frac{1}{n!} [(x - x_{0})^{n} \frac{d^{n}}{d x^{n}}] f (x_{0}) = \frac{1}{n!} f^{(n)} (x_{0}) (x - x_{0})^{n}, \end{aligned} \end{matrix}

这就回到了熟悉的一元泰勒展开。

　　对多元函数，令 $r = (x_{1}, x_{2}, \dots)$ ，每一项的方括号中都是两个 “矢量” 的点乘

\begin{matrix} (3) & [(r - r_{0}) \cdot \nabla]^{n} = {[(x_{1} - x_{10}) \frac{\partial}{\partial x_{1}} + (x_{2} - x_{20}) \frac{\partial}{\partial x_{2}} + \dots]}^{n} . \end{matrix}

在拆括号后不仅会产生含有

(x_{i} - x_{i 0})^{n} \partial^{n} / \partial {x_{i}}^{n}

的项，还会有许多交叉项，即混合偏导。所以对于二元以上的函数，泰勒展开就会变得十分复杂。

　　对二元函数 $f (x, y)$ ，有

\begin{matrix} (4) & \begin{aligned} f (x, y) \\ = f + [(x - x_{0}) \frac{\partial}{\partial x} + (y - y_{0}) \frac{\partial}{\partial y}] f \\ + \frac{1}{2!} {[(x - x_{0}) \frac{\partial}{\partial x} + (y - y_{0}) \frac{\partial}{\partial y}]}^{2} f + \dots \\ = f + \frac{\partial f}{\partial x} (x - x_{0}) + \frac{\partial f}{\partial y} (y - y_{0}) \\ + \frac{1}{2!} \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} (x - x_{0})^{2} + \frac{1}{2!} \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} (y - x_{0})^{2} \\ + \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} (x - x_{0}) (y - y_{0}) + \dots \end{aligned} \end{matrix}

其中默认

f

及其偏导在

(x_{0}, y_{0})

取值。