贡献者： _Eden_
1. 连续与连续函数
定义 1 左连续，右连续，连续
若函数 $f(x)$ 在 $U(x_0,\delta_0)$ 内有定义，且 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0)$，则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 连续，$x_0$ 为 $f(x)$ 的一个连续点。
若函数 $f(x)$ 在 $U^+(x_0,\delta_0)$ 内有定义，且 $f(x_0^+)=f(x_0)$，则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 右连续。
若函数 $f(x)$ 在 $U^-(x_0,\delta_0)$ 内有定义，且 $f(x_0^-)=f(x_0)$，则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 左连续。
连续的另一种等价定义：若 $f(x)$ 在 $x_0$ 处左连续且右连续（$i.e. $ 在 $U(x_0,\delta_0)$ 上有定义，且 $f(x_0^+)=f(x_0^-)=f(x_0)$），那么称 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续。
习题 1 连续函数
开区间上连续函数：设函数 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内有定义。若 $\forall x_0\in(a,b)$，$f(x)$ 在 $x_0$ 连续，那么称 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内连续，记为 $f(x)\in C(a,b)$。
闭区间上连续函数：设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 内有定义。若 $f(x)\in C(a,b)$，且 $f(x)$ 在 $a$ 处右连续，在 $b$ 处左连续，那么称 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 内连续，记为 $f(x)\in C[a,b]$。
习题 2
- $f(x)=1/x-[1/x]$，求 $f(x)$ 的所有连续点。
- $f(x)=1/x\ (x\in(0,1))$，证明 $f(x)\in C(0,1)$。
- $f(x)=\left\{\begin{aligned}&x\cdot \sin\left(1/x\right) ,&x\in(0,1]\\&0,&x=0 \end{aligned}\right.$，证明 $f(x)\in C[0,1]$。
- 证明：若 $f(x)\in C(a,b)$，且极限 $\lim\limits_{x\rightarrow a^+}f(x)=A,\lim\limits_{x\rightarrow b^-}f(x)=B$ 存在，则可以连续延拓到 $(-\infty,+\infty)$。
2. 间断，几类间断点
定义 2 间断点
设函数 $f(x)$ 在 $U(x_0,\delta_0)$ 内有定义，若 $x_0$ 不是 $f(x)$ 的连续点，则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 间断（或不连续），并称 $x_0$ 为 $f(x)$ 的一个间断点（或不连续点）。
定义 3 第一类间断点与第二类间断点
用左右极限来刻画间断点，则有以下几种情况：
- 若 $f(x_0^+)$ 和 $f(x_0^-)$ 都存在，则称 $x_0$ 为 $f(x)$ 的第一类间断点。此时若 $f(x_0^+)=f(x_0^-)\neq f(x_0)$，则称它为可去间断点，否则称它为跳跃间断点。
- 若 $f(x_0^+)$ 和 $f(x_0^-)$ 至少有一个不存在，则称 $x_0$ 为 $f(x)$ 的第二类间断点。
习题 3
- $f(x)=1/x-[1/x]$，求 $f(x)$ 的所有间断点。
- $f(x)= \sin\left(1/x\right) $，考察 $f(x)$ 在 $x=0$ 处的连续性。
- 若 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调，证明 $f(x)$ 的间断点都是跳跃间断点。
- 构造定义域为 $\mathbb{R}$ 的函数 $f(x)$，使得处处都是间断点。
考察黎曼函数图 2 的连续性：
\begin{equation}
f(x)=\left\{
\begin{aligned}
&1/q && (x=\frac{p}{q}\ (p,q\in \mathbb{N}, \frac{p}{q}\text{为既约真分数}))\\
&0 && (x=0\text{或}x=1\text{或} x\notin \mathbb{Q})~.
\end{aligned} \right.
\end{equation}
可以证明，对于 $x_0\in(0,1)$，若 $x_0$ 是有理数，则 $x_0$ 是 $f(x)$ 的可去间断点；若 $x_0$ 是无理数，则 $f(x)$ 在 $x_0$ 连续。
3. 连续函数的性质
定理 1 局部有界性
若 $f(x)$ 在 $x_0$ 连续，则必存在 $x_0$ 的一个邻域 $U(x_0,\delta)$，使得 $f(x)$ 在该邻域内有界。
定理 2 局部保号性
若 $f(x)$ 在 $x_0$ 连续，而 $f(x_0)>0$，则必存在 $x_0$ 的一个邻域 $U(x_0,\delta)$，使得 $f(x)$ 在该邻域内 $>0$。
定理 3 局部保号性
更强的命题：若 $f(x)$ 在 $x_0$ 连续，而 $f(x_0)>A$，则必存在 $x_0$ 的一个邻域 $U(x_0,\delta)$，使得 $f(x)$ 在该邻域内 $>A$。
定理 4 四则运算下的性质
连续函数经四则运算后仍然连续，即若 $f(x),g(x)$ 在 $x_0$ 处连续，则函数 $f(x)+g(x),f(x)-g(x),f(x)g(x),f(x)/g(x)(g(x_0)\neq 0)$ 仍然在 $x_0$ 处连续。
定理 5 复合函数的连续性
设 $u=g(x)$ 在点 $x_0$ 连续，$y=f(u)$ 在点 $u_0=g(x_0)$ 连续，复合函数 $f(g(x))$ 在点 $x_0$ 连续。
由连续性的定义，我们还可以推出复合连续函数极限的性质：
定理 6 复合连续函数极限
设 $u=g(x)$ 在点 $x_0$ 连续，$y=f(u)$ 在点 $u_0=g(x_0)$ 连续，那么 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(g(x))=f(\lim\limits_{x\rightarrow x_0}g(x))$ 一定成立。
实际上，如果 $u_0$ 是 $f$ 的可去间断点，在满足一定条件的情况下这个性质仍然成立。详细的表述可以看 定理 9 。
定理 7 反函数连续性
设 $f(x)$ 是区间 $I$ 上严格单调的连续函数，则其反函数 $x=f^{-1}(y)$ 在 $f(I)$ 上连续。
习题 4
- 对于给定的常数 $a>0$，应如何定义指数函数 $f(x)=a^x$（$x$ 是无理数的情况）？
- 判断指数函数 $f(x)=a^x(a>0)$ 的连续性。
- $u(x)$ 在 $x_0$ 处连续，$u(x_0)>0$；$v(x)$ 在 $x_0$ 处连续。证明：$f(x)=u(x)^{v(x)}$ 在 $x_0$ 处连续，且 $f(x_0)=u(x_0)^{v(x_0)}$。
由以上的习题，可以推出一个重要结论：初等函数在其定义域内是连续的。