贡献者： addis
若函数 $f(x)\in C[a,b]$，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界。
证明：若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上无界，则将 $[a,b]$ 等分成两个闭区间，$f(x)$ 必在其中一个子区间上无界，取定这样的一个区间并将其设为 $[a_1,b_1]$ . 同理，取定 $[a_2,b_2]$ . 如此进行下去，我们就得到了一个闭区间列 $\{[a_n,b_n]\}$，满足：
（1）$[a_n,b_n]\supset[a_{n+1},b_{n+1}]$；
（2）$b_{n+1}-a_{n+1}=\dfrac{b_n-a_n}{2}$；
（3）$f(x)$ 在每个 $[a_n,b_n]$ 上无界。
于是，由闭区间套定理（定理 3 ）知，存在唯一的 $\xi\in \operatorname {\bigcap}\limits^{+\infty}\limits_{n=1}[a_n,b_n]$. 由 $f(x)\in C[a,b]$ 和 $\xi\in[a,b]$，知 $\forall\epsilon>0$，$\exists\ \delta>0$，$\forall x\in B(\xi,\delta)\bigcap[a,b]$，有 $\vert f(x)-f(\xi)\vert<\epsilon$，即 $f(x)$ 在 $B(\xi,\delta)\bigcap[a,b]$ 上有界。又由条件（2），当 $n$ 充分大时，有 $[a_n,b_n]\subset B(\xi,\delta)$，故 $[a_n,b_n]\subset B(\xi,\delta)\bigcap[a,b]$，从而 $f(x)$ 在 $[a_n,b_n]$ 上有界，与条件（3）矛盾。故 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界。
若 $f(x)\in C[a,b]$，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上必有最小值和最大值，即存在 $\xi,\zeta\in [a,b]$，使得 $f(\xi)\leq f(x)\leq f(\zeta)$ 对一切的 $x\in[a,b]$ 成立。
证明：令 $M=\sup\limits_{x\in[a,b]}\{f(x)\}$，则由上确界的定义知，存在一个序列 $\{x_n\}\subset[a,b]$，使得 $f(x)\rightarrow M(x\rightarrow \infty)$. 由于 $\{x_n\}$ 是有界序列，所以必有一收敛子列 $\{x_{n_k}\}$（定理 5 ）. 设 $\lim\limits_{k\rightarrow\infty}x_{n_k}=\zeta$，则 $\zeta\in[a,b]$. 再由 $f(x)\in C[a,b]$，知 $$ f(\zeta)=\lim\limits_{k\rightarrow\infty}f(x_{n_k})=M~. $$
同理可证存在 $\xi\in[a,b]$，使得 $$ f(\xi)=m=\inf\limits_{x\in[a,b]}\{f(x)\}~. $$ **注**：介值定理只在闭区间上成立，开区间上边界处 $f(x)$ 可能趋于无穷。
设 $f(x)\in [a,b]$，记 $m=\min\limits_{x\in[a,b]}\{f(x)\}$，$M=\max\limits_{x\in[a,b]}\{f(x)\}$，则 $f([a,b])=[m,M]$，即对 $\forall \eta\in[m,M]$，$\exists \xi\in[a,b]$，使得 $f(\xi)=\eta$.
证明：由最值定理知，$\exists\ x_1,x_2\in[a,b]$，使得 $f(x_1)=m$，$f(x_2)=M$. 下证对 $\forall \eta\in (m,M)$，$\exists\ \xi\in[a,b]$，使得 $f(\xi)=\eta$.
不妨设 $x_1< x_2$，并定义 $$ E=\{x\in[x_1,x_2]:f(x)>\eta\}~. $$ 显然有 $x_1\notin E$，$x_2\in E$. 现令 $E$ 的下确界为 $\xi$，则有 $f(\xi)=\eta$.
事实上，若不然，则 $f(\xi)>\eta$. 由连续函数的局部保号性知，存在 $\xi$ 的一个邻域 $U(\xi,\delta)$，使得 $f(x)>\eta$ 对一切 $x\in U(\xi,\delta)$ 成立。取 $\xi'\in[x_1,x_2]\bigcap [\xi-\delta,\xi]$，则有 $f(\xi')\in E$ 及 $\xi'<\xi$，这与 $\xi$ 是 $E$ 的下确界矛盾。
设 $f(x)$ 在区间 $I$ 上连续，若 $\alpha,\beta\in I$，$\alpha<\beta$，满足 $f(\alpha)f(\beta)<0$，则存在 $\xi\in(\alpha,\beta)$，使得 $f(\xi)=0$.
零点存在定理实质上是介值定理的一种特殊情况，常被用来证明非线性方程之解的存在性，或者用它来求方程的近似根。如：
1.证明三次方程 $ax^3+bx^2+cx+d=0$ 至少有一实根。
2.证明方程 $x^4+2x-1=0$ 在 $(0,1)$ 中必有一根，并求它的一个近似解。
设函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上有定义。 若 $\forall \epsilon>0$，$\exists\ \delta>0$，当 $x_1,x_2\in I$ 且 $\vert x_1-x_2\vert<\delta$ 时，有 $\vert f(x_1)-f(x_2)\vert<\epsilon$，则称 $f(x)$ 在 $I$ 上**一致连续**.
由此，$f(x)$ 在 $I$ 上不一致连续与以下断言等价：存在 $\epsilon_0>0$ 及序列 $\{x'_n\}$，$\{x''_n\}\subset I$ 满足 $x'_n-x''_n\rightarrow0(n\rightarrow\infty)$ 及 $\vert f(x'_n)-f(x''_n)\vert\geq\epsilon_0$.
显然，若 $f(x)$ 在 $I$ 上一致连续，则它必在 $I$ 上连续。
1.证明 $f(x)=\sin x$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上一致连续。
2.试证明 $f(x)$ 在 $I$ 一致连续的充分必要条件是：对任意的两个序列 $\{x'_n\}\subset I$，$\{x''_n\}\subset I$，若它们满足 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(x'_n-x''_n)=0$，必有 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}[f(x'_n)-f(x''_n)]=0$。
设函数 $f(x)\in C[a,b]$，则 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上一致连续。
证明：定义 $$ F(x)=\left\{ \begin{matrix} f(a),\ \ \ \ &x\in(-\infty,a),\\ f(x),\ \ \ \ &x\in[a,b],\\ f(b),\ \ \ \ &x\in(b,+\infty), \end{matrix} \right.~. $$
则 $F(x)\in C(-\infty,+\infty)$. $\forall \epsilon>0$ 和 $x\in[a,b]$，$\exists\ \delta_x>0$，当 $x',x''\in U(x,2\delta_x)$ 时，有
$$ \vert F(x')-F(x'')\vert<\epsilon~. $$
显然，开区间簇 $\{U(x,\delta_x):x\in[a,b]\}$ 是闭区间 $[a,b]$ 的一个开覆盖。由有限覆盖定理知，必有其中有限多个开区间
$$ U(x_1,\delta_{x_1}),U(x_2,\delta_{x_2}),\cdot\cdot\cdot,U(x_m,\delta_{x_m})~. $$
它们完全覆盖了 $[a,b]$. 令 $\delta=\min\{\delta_{x_j}:j=1,2,\cdot\cdot\cdot,m\}$，则 $\delta>0$，且当 $x',x''\in[a,b]$ 且 $\vert x'-x''\vert<\delta$ 时，必定存在某一 $U(x_j,\delta_{x_j})$，使得 $x'\in U(x_j,\delta_{x_j})$，即 $\vert x'-x_j\vert<\delta_{x_j}$，从而 $\vert x''-x_j\vert\leq\vert x''-x'\vert+\vert x'-x_j\vert\leq\delta+\delta_{x_j}\leq2\delta_{x_j}$，于是有 $x',x''\in U(x_j,2\delta_{x_j})$. 这样，由 $\delta_{x_j}$ 的定义，有
$$ \vert f(x')-f(x'')\vert=\vert F(x')-F(x'')\vert<\epsilon~. $$
注意到 $\delta$ 只与 $\epsilon$ 有关而与 $x',x''$ 无关，故 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上一致连续。
1.设函数 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上连续。证明：$f(x)$ 在 $(a,b)$ 上一致连续的充要条件是 $\lim\limits_{x\rightarrow a+0}f(x)$ 与 $\lim\limits_{x\rightarrow b-0}f(x)$ 都存在。
2.设 $f(x)$ 是定义在 $(-\infty,+\infty)$ 上的连续周期函数，证明 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上一致连续。