双线性型
贡献者： JierPeter; addis
给定域 $\mathbb{F}$ 上的线性空间 $V$，若函数 $f:V\times V\to \mathbb{F}$ 对于两个自变量都满足线性性（称为 “双线性性”），则称 $f$ 为一个双线性函数（bilinear function）、线性 $2$-函数（linear $2$-function）或者双线性形式（bilinear form），也译作双线性型。
所谓双线性性，即对于任意 $ \boldsymbol{\mathbf{u}} _i, \boldsymbol{\mathbf{v}} _j\in V$ 和 $a_i, b_j\in\mathbb{F}$，都有
\begin{equation}
\begin{aligned}
&f(a_1 \boldsymbol{\mathbf{u}} _1+a_2 \boldsymbol{\mathbf{u}} _2, b_1 \boldsymbol{\mathbf{v}} _1+b_2 \boldsymbol{\mathbf{v}} _2)\\
={}& a_1b_1f( \boldsymbol{\mathbf{u}} _1, \boldsymbol{\mathbf{v}} _1)+a_2b_1f( \boldsymbol{\mathbf{u}} _2, \boldsymbol{\mathbf{v}} _1)+a_1b_2f( \boldsymbol{\mathbf{u}} _1, \boldsymbol{\mathbf{v}} _2)+a_2b_2f( \boldsymbol{\mathbf{u}} _2, \boldsymbol{\mathbf{v}} _2)~.
\end{aligned}
\end{equation}
如果固定两个自变量中的一个，如固定第二个自变量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $，则 $f$ 可以看成是 $V\to \mathbb{F}$ 的单自变量函数，显然对于这个自变量，$f$ 满足线性性：
\begin{equation}
f(a_1 \boldsymbol{\mathbf{u}} _1+b_1 \boldsymbol{\mathbf{u}} _2, \boldsymbol{\mathbf{v}} )=a_1f( \boldsymbol{\mathbf{u}} _1, \boldsymbol{\mathbf{v}} )+a_2f( \boldsymbol{\mathbf{u}} _2, \boldsymbol{\mathbf{v}} )~.
\end{equation}
双线性形式是一种张量，具体来说是 $(0, 2)$ 型张量。内积是一种双线性形式，具体来说是正定的双线性形式。