双线性型

贡献者： JierPeter; addis

预备知识　线性映射

　　给定域 $F$ 上的线性空间 $V$ ，若函数 $f : V \times V \to F$ 对于两个自变量都满足线性性（称为 “双线性性”），则称 $f$ 为一个双线性函数（bilinear function）、线性 $2$ -函数（linear $2$ -function）或者双线性形式（bilinear form），也译作双线性型。

　　所谓双线性性，即对于任意 $u_{i}, v_{j} \in V$ 和 $a_{i}, b_{j} \in F$ ，都有

\begin{matrix} (1) & \begin{aligned} f (a_{1} u_{1} + a_{2} u_{2}, b_{1} v_{1} + b_{2} v_{2}) \\ = & a_{1} b_{1} f (u_{1}, v_{1}) + a_{2} b_{1} f (u_{2}, v_{1}) + a_{1} b_{2} f (u_{1}, v_{2}) + a_{2} b_{2} f (u_{2}, v_{2}) . \end{aligned} \end{matrix}

　　如果固定两个自变量中的一个，如固定第二个自变量 $v$ ，则 $f$ 可以看成是 $V \to F$ 的单自变量函数，显然对于这个自变量， $f$ 满足线性性：

\begin{matrix} (2) & f (a_{1} u_{1} + b_{1} u_{2}, v) = a_{1} f (u_{1}, v) + a_{2} f (u_{2}, v) . \end{matrix}

　　双线性形式是一种张量，具体来说是 $(0, 2)$ 型张量。内积是一种双线性形式，具体来说是正定的双线性形式。