联络（向量丛）

贡献者： DTSIo; addis; JierPeter

预备知识 1　向量丛

预备知识 2　纤维丛

　　本节采用爱因斯坦求和约定。

　　设 $M$ 是 $n$ 维微分流形，$E$ 是其上秩为 $k$ 的光滑向量丛。

1. 定义与例子

　　向量丛 $E$ 上的一个联络（connection）是指一个映射 $D:\Gamma(E)\otimes \mathfrak{X}(M)\to\Gamma(E)$，满足如下条件：

对于截面 $\xi\in\Gamma(E)$ 和任何切向量场 $X$，$X\to D_X\xi$ 是 $C^\infty(M)$-线性的，即 $$ D_{fX_1+fX_2}\xi=fD_{X_1}\xi+gD_{X_2}\xi,\,f,g\in C^\infty(M)~. $$
对于截面 $\xi\in\Gamma(E)$ 和任何切向量场 $X$，$\xi\to D_X\xi$ 是实线性的，即对于实数 $c_1,c_2$ 有 $$ D_X(c_1\xi_1+c_2\xi_2)=c_1D_X\xi_1+c_2D_X\xi_2~. $$
对于任何 $f\in C^\infty(M)$，都有莱布尼兹律： $$ D_X(f\xi)=X(f)\xi+fD_X\xi~. $$

　　直观上说，在向量丛上给定联络，就是给定一个"符合张量规律的导数运算"。

　　如果取 $M=\mathbb{R}^n$，$E$ 为平凡向量丛 $\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^k$，则截面 $\xi$ 就是通常的 $k$-维向量值函数，通常的对笛卡尔坐标的微分运算 $$ D\xi=(\partial_i\xi^\alpha)_{1\leq i\leq n}^{1\leq\alpha\leq k}~ $$ 就是一个联络。

　　不平凡的例子在黎曼几何中多有出现。

2. 联络形式

　　设 $D$ 是向量丛 $E$ 上的联络。设 $\{e_i\}_{i=1}^n,\{\theta^i\}_{i=1}^n,\{s_\alpha\}_{\alpha=1}^k$ 分别是 $TM,T^*M,\Gamma(E)$ 的局部光滑标架，其中 $\{e_i\}$ 和 $\{\theta^i\}$ 是对偶标架。在这些局部光滑标架之下，按照联络的定义，有 $$ D_X\xi=X^i\cdot\left[e_i(\xi^\alpha)s_\alpha+\xi^\alpha D_{e_i}s_\alpha\right]~. $$ 若命 $D_{e_i}s_\alpha=\Gamma_{\alpha i}^\beta s_\beta$，则有 $$ D_X\xi=X^i\cdot\left[e_i(\xi^\alpha)+\Gamma_{\beta i}^\alpha\xi^\beta \right]s_\alpha~. $$ 称系数 $\Gamma^\alpha_{\beta i}$ 为联络系数（coefficients of connection）或克氏符（Christoffel symbol）。于是就得到 1-形式的 $k\times k$ 矩阵 $$ \omega=(\omega_\beta^\alpha)=(\Gamma_{\beta i}^\alpha\theta^i)~. $$ 它们称为联络 $D$ 在局部的联络 1-形式矩阵（matrix of connection 1-forms）。从而可写 $$ D\xi=(d\xi^\beta+\omega_\alpha^\beta\xi^\alpha)\otimes s_\beta~. $$

　　注意，克氏符和联络 1-形式都只能局部定义。若 $\{s'_\beta\}$ 是 $E$ 的另一个局部标架，同 $\{s_\alpha\}$ 之间的转换公式为 $s_\beta=b_\beta^\alpha s_\alpha$，则 $$ b_\alpha^\gamma{\omega'}_{\beta}^{\alpha}\otimes s_\gamma={\omega'}_{\beta}^{\alpha}s'_\alpha=Ds'_\beta=(db_\beta^\gamma+b_\beta^\alpha\omega_\alpha^\gamma)\otimes s_\gamma~. $$ 从而新标架下的联络 1-形式矩阵 $\omega'$ 同原标架下的 $\omega$ 之间的转换关系是

\begin{equation} \omega'=db\cdot b^{-1}+b\cdot\omega\cdot b^{-1}~. \end{equation}

这是联络 1-形式在向量丛的局部标架变换下的转换公式，由此可见联络 1-形式矩阵的定义依赖标架的选取，从而并非全局定义的张量场。

　　在 $\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^k$ 上，笛卡尔坐标系下的微分 $$ D\xi=(\partial_i\xi^\alpha)_{1\leq i\leq n}^{1\leq\alpha\leq k}~. $$ 在经过坐标变换之后也要改变形式。这就是联络形式定义的最初来源。

3. 存在定理

　　由转换公式式 1 此可得联络的存在定理，或者说，只要给出了满足转换公式式 1 的 1-形式矩阵，就等于给出了联络：

定理 1　

　　设 $\mathfrak{U}$ 是流形 $M$ 的开覆盖，使得在每一个开集 $U\in\mathfrak{U}$ 上都给定了切丛的局部标架 $\{e^U_i\}$，$E$ 的局部标架 $\{s^U_\alpha\}$ 以及 1-形式的 $k\times k$ 方阵 $\omega^U$。若对于任意两个相交的 $U,V\in\mathfrak{U}$，在 $U\cap V$ 总成立 $$ \omega^V=db^V_U\cdot \{b_V^U\}^{-1}+b^V_U\cdot\omega^U\cdot \{b^V_U\}^{-1}~, $$ 其中 $b^V_U$ 是从 $\{s^U_\alpha\}$ 到 $\{s^V_\alpha\}$ 的转换矩阵，则存在唯一一个 $E$ 上的联络，使得其在局部标架 $\{s^U_\alpha\}$ 之下的联络 1-形式矩阵是 $\{\omega^U\}$。

　　还可以适当选取 $E$ 的标架，使得联络 1-形式矩阵在指定的点处有简单的形式：

定理 2　

　　给定任何一点 $p\in M$ 以及一个 $E$ 上的联络 $D$，都存在 $E$ 在 $p$ 附近的局部标架，使得这标架下的联络 1-形式矩阵 $\omega(p)=0$。

　　 证明大意 先取一个 $E$ 的标架 $\{s_\alpha\}$，并设 $$ \omega^\beta_\alpha=\Gamma_{\alpha i}^\beta dx^i~. $$ 命 $\{x^i\}$ 为 $p$ 附近的坐标系，使得 $x^i(p)=0$。则命 $$ b_\alpha^\beta=\delta_\alpha^\beta-\Gamma_{\alpha i}^\beta x^i~, $$ 并定义 $E$ 的新的局部标架 $s'_\alpha=b_\alpha^\beta s_\beta$。则从 $db(p)=-\omega(p)$ 和转换公式式 1 就得到新标架下 $\omega'(p)=0$。

　　注意，这不表示可以取到局部标架使得联络 1-形式矩阵在 $p$ 的邻域内都等于零。某个局部标架下的联络系数局部为零是非常特殊的性质。详见平行性（向量丛）。

4. 对偶联络; 联络的和与积

　　 $E$ 上的联络 $D$ 自然诱导出对偶丛 $E^*$ 上的联络 $D^*$：如果 $\xi\in\Gamma(E),\eta^*\in\Gamma(E^*)$，则 $$ d\langle \eta^*,\xi\rangle=\langle D^*\eta^*,\xi\rangle+\langle \eta^*,D\xi\rangle~. $$ 如果 $\{s_\alpha\}$ 是 $E$ 的局部标架而 $\{s^{*\gamma}\}$ 是对偶标架，那么 $D^*$ 的联络 1-形式矩阵在此标架下为 $$ \omega^{*\beta}_\alpha =\langle D^*s^{*\beta},s_\alpha\rangle =-\langle s^{*\beta},Ds_\alpha\rangle =-\omega^\beta_\alpha~, $$ 或者可简写为 $D^*s^{*\beta}=-\omega^\beta_\alpha s^{*\alpha}$。若截面 $\eta^*\in\Gamma(E^*)$ 有局部表达式 $\eta^*=\eta_\beta s^{*\beta}$，则 $$ D^*\eta^*=(d\eta_\beta-\omega_\beta^\alpha\eta_\alpha)\otimes s^{*\beta}~. $$

　　如果 $D_1,D_2$ 分别是向量丛 $E_1,E_2$ 上的联络，则在直和 $E_1\oplus E_2$ 和张量积 $E_1\otimes E_2$ 上的和与积分别为 $$ D(\xi_1\oplus \xi_2)=D\xi_1\oplus D\xi_2~, \, D(\xi_1\otimes \xi_2)=D\xi_1\otimes \xi_2+\xi_1\otimes D\xi_2~. $$