向量丛
贡献者： JierPeter; addis
未完成：需补充引用，GTM 275 第 7 章。
未完成：与 “纤维丛” 文章内容重复
向量丛是纤维丛的特例，即纤维都是向量空间的情况。
定义 1 向量丛
给定拓扑空间 $B$ 和线性空间 $V$，如果存在一个拓扑空间 $E$ 和一个连续满射 $\pi:E\rightarrow B$，使得对于任意的 $x\in B$，都有 $\pi^{-1}(x)\cong V$，那么称这个结构 $(E, V, B, \pi)$ 为一个向量丛（vector bundle）。
向量丛之间也有丛映射：
定义 2 丛映射
给定向量丛 $(E, V_E, M, \pi_E)$ 和 $(F, V_F, N, \pi_F)$，其中 $M$ 和 $N$ 是实流形。我们定义一个 “光滑丛映射（$C^\infty$ bundle map）” 为 $E\rightarrow F$ 的映射偶 $\varphi: E\rightarrow F$ 和 $\overline{\varphi}: M\rightarrow N$，使得：
\begin{equation}
\overline{\varphi}\circ\pi_E=\pi_F\circ\varphi~.
\end{equation}
且在任意 $p\in M$ 处，$\varphi|_p$
1是从 $p\times V_E$ 到 $\overline{\varphi}(p)\times V_F$ 的映射，并且是一个线性映射。
在纤维丛文章中我们强调过，一个向量丛 $(E, V, B, \phi)$ 不能简单等同于 $B\times V$，不过 $B\times V$ 本身也是一个纤维丛，称之为平凡（trivial）的纤维丛。
1. ^ 即只考虑 $p$ 处纤维的映射 $\varphi$。