平行性（向量丛）

贡献者： addis; DTSIo

　　 本文使用爱因斯坦求和约定。设 $M$ 是 $n$ 维微分流形，$E$ 是其上秩为 $k$ 的光滑向量丛。设给定了 $E$ 上的联络 $D$。

1. 平行截面

　　 向量丛 $E$ 的截面 $\xi \in \mathrm{\Gamma }(E)$ 称为在联络 $D$ 之下平行的（parallel），如果 $$D\xi =0$$ 在局部标架 $\{s_{\alpha }{\}}_{\alpha =1}^k$ 之下，如果 $\xi ={\xi }^{\alpha }{s}_{\alpha }$，$\omega$ 是此标架下的联络 1-形式矩阵，则 $D\xi =0$ 等价于 $$d{\xi }^{\alpha }+{\xi }^{\beta }{\omega }_{\beta }^{\alpha }=0(1\le \alpha \le k).$$ 进一步给定切丛和余切丛的局部标架 $\{e_i\},\{{\theta }_j\}$ (二者为对偶) 之后，就有了克氏符 ${\mathrm{\Gamma }}_{\beta i}^{\alpha }$，因此上式进一步等价于方程组 $$e_i({\xi }^{\alpha })+{\xi }^{\beta }{\mathrm{\Gamma }}_{\beta i}^{\alpha }=0(1\le \alpha \le k,1\le i\le n).$$ 这是普法夫系。在局部上，根据费罗贝尼乌斯定理，这方程组可解（局部上相当于有 $k$ 个函数 $\{{\xi }^{\alpha }{\}}_{\alpha =1}^k$ 满足上面的偏微分方程组）当且仅当 $$0=d({\omega }_{\beta }^{\alpha }{\xi }^{\beta })=d{\xi }^{\beta }\wedge {\omega }_{\beta }^{\alpha }+{\xi }^{\beta }d{\omega }_{\beta }^{\alpha }={\xi }^{\beta }\wedge {\mathrm{\Omega }}_{\beta }^{\alpha }.$$ 这里 $\mathrm{\Omega }$ 是 $D$ 的曲率方阵。这也就表示这个方程组可解当且仅当 $${\xi }^{\beta }\wedge {\mathrm{\Omega }}_{\beta }^{\alpha }=0.$$ 因此如果 $D$ 的曲率在某个开集上等于零，则上述普法夫系在此开集上是局部可积的，于是此开集上存在 $E$ 的局部平行截面。

　　 这样看来，曲率是平行截面存在的障碍。

　　 ${\mathbb{R}}^n$ 上平凡丛 ${\mathbb{R}\times }^n{\mathbb{R}}^k$ 上的平凡联络就是通常的微分运算，因此当然是可交换的，曲率算子为零。设 ${\partial }_{\alpha }$ 是 ${\mathbb{R}}^k$ 上的一个仿射坐标向量，则它在此联络下就是平行的。这很符合"平行"的直观意义。

2. 平行移动

　　 向量丛在区域上的平行截面很可能不存在，但却可以定义沿着某条道路平行的截面。

　　 设 $\gamma :[0,a]\to M$ 是 Lipschitz 连续的道路，${\xi }_0\in E_{\gamma (0)}$ 是沿着道路的截面。它的严格定义是一个映射：$\xi :[0,a]\to E$，使得 $\xi (t)\in E_{\gamma (t)}$。称此截面是沿着道路 $\gamma$ 平行的（parallel along $\gamma$），如果 $D_{{\gamma }^{\prime }}\xi (t)=0$。此时称 $\xi (a)$ 是 $\xi (0)$ 沿着 $\gamma$ 的平行移动（parallel transport）。

　　 在 $M$ 的局部坐标系 $\{x^i{\}}_{i=1}^n$ 和 $E$ 的局部标架 $\{s_{\alpha }{\}}_{\alpha =1}^k$ 之下，可写 $\gamma (t)=({\gamma }^i(t))$，$\xi ={\xi }^{\alpha }{s}_{\alpha }$，则 $D_{{\gamma }^{\prime }}\xi =0$ 等价于 $$\frac{d{\xi }^{\alpha }}{dt}+{\mathrm{\Gamma }}_{\beta i}^{\alpha }(\gamma (t))\frac{d{\gamma }^i}{dt}(t){\xi }^{\beta }=0.$$ 这是 $k$ 个函数 ${\xi }^{\alpha }$ 的齐次线性常微分方程组，系数是有界的，所以给定初值之后它有唯一的 Lipschitz 连续的解。

　　 这就给出了一个线性变换 $P_{\gamma }:E_{\gamma (0)}\to E_{\gamma (a)}$，将任何一个 $\xi (0)\in E_{\gamma (0)}$ 通过平行移动变为 $\xi (a)\in E_{\gamma (a)}$。从微分方程本身可得出终值与 $\gamma$ 重参数化的方法无关。简单计算给出 $P_{\gamma }^{-1}$ 实为沿着反向道路 ${\gamma }^{-1}$ 的平行移动。

　　 若命 $P_{\gamma }^{\tau ,t}$ 表示从 $E_{\gamma (\tau )}$ 到 $E_{\gamma (t)}$ 的沿着 $\gamma$ 的平行移动，则简单地计算给出：对于任何截面 $\xi \in \mathrm{\Gamma }(E)$ 和任何使得 ${\gamma }^{\prime }(t)$ 存在的 $t$，皆有 $$D_{{\gamma }^{\prime }(t)}\xi (\gamma (t))=\underset{\tau \to t}{lim}\frac{P_{\gamma }^{\tau ,t}\xi (\gamma (\tau ))-\xi (\gamma (t))}{\tau -t}.$$ 这样看来，沿着道路的平行移动实则决定了整个联络本身的取值。

　　 对于 ${\mathbb{R}}^n$ 上平凡丛 ${\mathbb{R}}^n\times {\mathbb{R}}^k$ 上的平凡联络，沿着两条有同样起终点的道路的平行移动给出同样的结果：它就是通常意义下实数空间中的平行移动，移动的结果显然跟移动的路径无关。然而对于一般的联络来说这是不对的。这种现象是因为一般的联络曲率不为零。这是和乐定理要讨论的内容。