贡献者： JierPeter; int256
1. 定义
直观来说，纤维丛是指在一个拓扑空间 $B$ 的每一个点都长出来另一个拓扑空间 $F$ 所得到的一个空间。每一个点 $x\in B$ 上的 $F$ 被称为一根纤维（fibre 或 fiber），这些纤维所在的 $B$ 称为底空间（base space），而整个结构 $(B, F)$ 就是一个纤维丛（fibre bundle）。
准确的定义如下所述，其中 $E$ 就是 “$B$ 上每个点都长出一个 $F$ 的丛空间”：
定义 1 纤维丛
纤维丛(fiber bundle)是一四元组 $(E, B, \pi, F)$，其中 $E, B$ 与 $F$ 都是拓扑空间，称 $B$ 为底空间(base space) 而 $E$ 为全空间(total space)，称 $F$ 是纤维型(fiber type)。称 $\pi$ 是一个投影映射(projection map, bundle projection)，但要求 $\pi: E\rightarrow B$ 是一个连续满射，满足下述的局部平凡条件(local triviality condition)。
下面我们假设 $B$ 是连通的。要求 $\forall b \in B$，存在一个在 $B$ 中的包含 $b$ 的开邻域 $U$，且有同胚映射 $\varphi: \pi^{-1}(U) \rightarrow (U \times F)$，显然 $U \times F$ 是一个乘积拓扑。
这样 $\pi$ 与第一个因子一致，即有 $\pi = \operatorname{proj}_1 \circ \varphi$，有交换图:
\begin{equation}
\begin{CD}
\pi^{-1}(U) @>{\varphi}>> U \times F \\
@V{\pi}VV @V{\text{proj}_1}VV \\
U @= U
\end{CD}~~
\end{equation}
应是可交换的（我们说交换图是可交换指图上任意两点间的各路径分别对应的各复合映射可以得到同样的结果）。而 $\pi^{-1}(U)$ 给出一个子空间拓扑。
其中 $\operatorname{proj}_1 : (U \times F) \rightarrow U$ 是自然映射，其考虑为笛卡尔积的投影，或者说 $\forall (u, f) \in (U \times F)$ 其给出 $u$。
对于开覆盖 $\{(U_i, \varphi_i)\}$ 称为这个丛的局部平凡化(local trivialization)，又称局部平凡化卡(local trivialization chart)。局部平凡也译为局部平庸。
定义 2 纤维丛上的纤维
考虑纤维丛 $(E, B, \pi, F)$，对于其底空间上的任意点 $b \in B$，原像 $\pi^{-1}(\{b\})$ 称为点 $b$ 处的一根纤维。
推论 1 纤维性质
根据纤维的定义，不难发现纤维丛 $(E, B, \pi, F)$ 上任意一点处长出的纤维是同胚于 $F$ 的。
如果把 $B$ 想象成一块土地，$F$ 想象成一棵草，那么 $E$ 就是 “土地上长了一片草” 这一概念，$E$ 的每个元素就是某棵草上的一个点。定义中的连续满射 $\pi$ 的作用是把这样的一个点映射到相应的草所在的地点。
每根纤维都是同胚的，即拓扑意义上都等价于纤维型。也就是说，纤维型是描述纤维的拓扑结构的，但不同点处的纤维不是同一个空间。
要注意的是，$E$ 不完全等同于 $B\times F$。对于 $B\times F$ 来说，任意给定两个 $x_1, x_2\in B$，我们自然可以找到 $x_1\times F$ 和 $x_2\times F$ 上的一一对应关系，这是由集合笛卡尔积的定义决定的。但是纤维丛 $E$ 上，如果上述 $x_1\not=x_2$，那么两个地方长出来的纤维是没有天然的双射对应的的1。这就是 “纤维丛” 这一名称的深意，而乘积空间应该被想象纤维被粘在一起的情况，只是纤维丛的一个定义了额外联系的特例。
两个纤维丛之间可以有映射偶：
定义 3 纤维丛的态射
设 $(E_1, F_1, B_1, f_1)$ 和 $(E_2, F_2, B_2, f_2)$ 是两个纤维丛，
2. 纤维丛的例子
平凡丛
给定两个拓扑空间 $X, Y$，则它们的积空间 $X\times Y$ 可以看成纤维丛，称为平凡丛（trivial bundle）。$X\times Y$ 可以用 $X$ 作底空间、$Y$ 作纤维型，取关于 $X$ 的投影映射 $\pi_X$ 构成纤维丛
\begin{equation}
(X\times Y, Y, X, \pi_X)~,
\end{equation}
也可以反过来，用 $Y$ 作底空间、$X$ 作纤维型，取关于 $Y$ 的投影映射 $\pi_Y$ 构成纤维丛
\begin{equation}
(X\times Y, X, Y, \pi_Y)~.
\end{equation}
如上一小节所说，平凡丛的特点是，任意两根纤维之间都存在一个天然的同胚映射。下面所说的切丛则不存在这样的天然同胚。
切丛
给定光滑实流形 $M$，在其上每一点 $p$ 处的全体切向量构成了一个线性空间，称为 $p$ 处的切空间。所有点处的切空间维度相等，从而线性同构，从而同胚。这样，我们可以以各线性空间为纤维，构造流形上的纤维丛。
定义 4 切丛
给定 $n$ 维光滑实流形 $M$，记 $p\in M$ 处的切空间为 $ \operatorname {T}_p M$，取线性拓扑2使之构成拓扑空间。显然，各 $ \operatorname {T}_pM$ 都线性同构于 $n$ 维实线性空间，且同胚于 $n$ 维欧几里得空间 $\mathbb{R}^n$。
记3
\begin{equation}
\operatorname {T}M= \coprod_{p\in M} \operatorname {T}_p M~,
\end{equation}
定义连续满射 $\pi: \operatorname {T}M\to M$ 为：对于任意 $v\in \operatorname {T}_p M$，$\pi(v)=p$。则可以得到一个纤维丛 $( \operatorname {T}M, \mathbb{R}^n, M, \pi)$，称为 $M$ 上的
切丛（tangent bundle）。
向量丛
向量丛是纤维丛的特例，即纤维都是向量空间的情况。显然，切丛是一种向量丛，但向量丛不止切丛这一种。
定义 5 向量丛
给定拓扑空间 $B$ 和 $q$ 维线性空间 $V$，如果存在一个拓扑空间 $E$，一个连续满射 $\pi:E\rightarrow B$，$B$ 的一族开覆盖 $\{U_\alpha\}$ 和一族映射 $\varphi=\{\varphi_\alpha: U_\alpha\times V\to \pi^{-1}(U_\alpha)\}$，满足下列相容条件（compatibility）：
- 各 $\varphi_\alpha$ 是同胚映射，且对于任意 $v\in V, p\in U_\alpha$ 有 $\pi\circ\varphi_\alpha(p, v)=p$；
- 对于固定的$p\in U_\alpha$，记 $\phi_\alpha(v)=\varphi_\alpha(p, v)$。要求 $\phi_\alpha(v)$ 是 $V\to \pi^{-1}(p)$ 的同胚映射；且当 $U_\alpha\cap U_\beta\not=\varnothing$ 时，$\phi_\beta^{-1}\circ\phi_\alpha$ 是 $V$ 上的线性自同构，
则称 $(E, B, \pi, \varphi)$ 是 $B$ 上的 $q$ 阶向量丛（vector bundle）。
例 1 经典力学
经典力学中，可以把单个自由粒子的相空间看作是一维实流形上的三维实向量丛。作为底空间的一维实流形表示时间坐标，作为纤维的线性空间表示空间坐标。
更多讨论请参见从分析力学到场论。
向量丛之间也有丛映射：
定义 6 丛映射
给定向量丛 $(E, V_E, M, \pi_E)$ 和 $(F, V_F, N, \pi_F])$，其中 $M$ 和 $N$ 是实流形。我们定义一个 “光滑丛映射（$C^\infty$ bundle map）” 为 $E\rightarrow F$ 的映射偶 $\varphi: E\rightarrow F$ 和 $\overline{\varphi}: M\rightarrow N$，使得：
\begin{equation}
\overline{\varphi}\circ\pi_E=\pi_F\circ\varphi~.
\end{equation}
且在任意 $p\in M$ 处，$\varphi|_p$
4是从 $p\times V_E$ 到 $\overline{\varphi}(p)\times V_F$ 的映射，并且是一个线性映射。
1. ^ 在微分几何中，我们研究的切丛是纤维丛的一种，而所谓的 “联络” 实际上就是指定了不同纤维间的双射。
2. ^ 线性空间的拓扑取线性拓扑，即任意定义一个内积，取关于这个内积的度量拓扑。不同的内积定义的度量拓扑是等价的。
3. ^ $\amalg$ 和 $\coprod$ 都表示不交并。这里的 $E$ 就是说把所有切空间都取不交并。
4. ^ 即只考虑 $p$ 处纤维的映射 $\varphi$。