含连续态的不含时微扰理论（量子力学）

贡献者： addis

预备知识　二阶不含时微扰理论（量子力学），库仑散射（量子）

　　若不含时微扰需要包含连续态（例如氢原子 stark 效应），那么一阶微扰的式 20 到式 22 以及二阶微扰的式 3 中， $| ψ_{n}^{0} ⟩$ 仍然是束缚态， $| ψ_{n}^{1} ⟩$ 是束缚态和连续态叠加 s。 $⟨ ψ_{m}^{0} |$ 可以是束缚态或者连续态。

　　这样的改变对束缚态的 $E_{n}^{1}$ 修正没有任何影响，但式 8 和式 1 的求和中需要包含连续态。

　　对于氢原子来说，包含连续态是很重要的。若不含，则 $E_{n}^{2}$ 会比实际值偏小！

\begin{matrix} (1) & ψ_{n}^{1} = \sum_{m}^{E_{m}^{0} \neq E_{n}^{0}} \frac{⟨ ψ_{m}^{0} | H^{1} | ψ_{n}^{0} ⟩}{E_{n}^{0} - E_{m}^{0}} ψ_{m}^{0} + \int \frac{⟨ k | H^{1} | ψ_{n}^{0} ⟩}{E_{n}^{0} - E^{0} (k)} | k ⟩ d k, \end{matrix}

\begin{matrix} (2) & E_{n}^{2} = \sum_{m}^{E_{m} \neq E_{n}} \frac{{| ⟨ ψ_{m}^{0} | H^{1} | ψ_{n}^{0} ⟩ |}^{2}}{E_{n}^{0} - E_{m}^{0}} + \int \frac{{| ⟨ k | H^{1} | ψ_{n}^{0} ⟩ |}^{2}}{E_{n}^{0} - E^{0} (k)} d k . \end{matrix}

其中

k

只是描述连续态的一个参数，且连续态需要满足正交归一。

\begin{matrix} (3) & ⟨ k^{'} | k ⟩ = δ (k^{'} - k) . \end{matrix}

例如在氢原子的 Stark 效应中，这里的

| k ⟩

可以表示库仑平面波，但实时上用球面波基底更方便。

　　具体例子见 Stark 效应。