辛流形

贡献者： JierPeter; Giacomo

预备知识　哈密顿正则方程，纤维丛

1. 引入的动机

　　辛流形是经典力学研究中自然出现的几何结构。

　　要描述质点组成的系统所处的状态，只需要知道每个质点的速度和位置（拉格朗日力学），或者动量和位置（哈密顿力学）；这篇文章我们考虑动量和位置。一个系统的所有可能的状态构成的集合被称为相空间（phase space），它是一个微分流形。

　　对于自由质点，它的相空间是一个欧几里得空间，具体地， $M$ 维空间中的 $N$ 个自由质点构成的系统，其相空间是 $M^{2 N}$ 维欧几里得空间。

　　但是如果存在约束，那么系统的相空间一般来说不是欧几里得空间。比如说，一个 $3$ 维空间中的自由质点，其相空间是 $R^{3} \times R^{3}$ ，即描述其位置需要一个 $R^{3}$ 、描述动量又需要一个 $R^{3}$ ，合起来就是一个 $6$ 维欧几里得空间 $R^{6}$ 。但如果此质点被固定在轻质杆的一端，而杆的另一端在某惯性系中固定不动，那么其相空间就是 $S^{2}$ 的余切丛 $T^{*} S^{2}$ ¹。 $S^{2}$ 描述的是质点的位置，这是一个流形。

　　一般地，系统的相空间是一个 $2 N$ 维流形，此流形是一个 $N$ 维流形上的余切丛。

　　有了描述状态的相空间，我们还需要描述系统的相点运动规律，那就是牛顿三定律，我们写为哈密顿正则方程的形式：

\begin{matrix} (1) & {\begin{aligned} \frac{d q_{i}}{d t} & = \frac{\partial H}{\partial p_{i}} \\ \frac{d p_{i}}{d t} & = - \frac{\partial H}{\partial q_{i}} . \end{aligned} \end{matrix}

　　由式 1 可见，决定系统状态随时间变化的是哈密顿函数，它是定义在相空间上的一个函数。以相空间上各点为起点，系统状态随时间的变化构成一族曲线，相空间上每一点处都由过这点的曲线定义了一个切向量。综上，哈密顿函数定义了一个相空间上的切向量场，称为该函数决定的哈密顿向量场（Hamiltonian flow）。那么函数如何与一个切向量场联系起来呢？

　　给定流形上的可微函数 $f$ ，我们总能找到与之关联的一个余切向量场 $d f$ ，定义为：对于任意切向量场 $X$ ，都有 $X f = (X, d f)$ ，这里 $(X, d f)$ 表示切场与余切场之间的作用。一般的流形是无法把函数和切场联系起来的，本质上是因为对偶空间之间没有自然同构。

　　要建立对偶空间之间的自然同构，只需要给这对对偶空间定义一个度量即可。在线性空间 $V$ 上定义度量 $g$ 后，就可以把 $V^{*}$ 中的 $ϕ$ 对应到 $V$ 中的 $v$ ，方式是： $ϕ (u) = g (v, u)$ 对任意 $u \in V$ 成立。这个自然同构，就是所谓的指标升降。用指标表示法，主空间 $V$ 中的向量表示为 $v^{i}$ 和 $u^{i}$ ，度量就表示为 $g_{i j}$ ，于是内积表示为 $g (v, u) = g_{i j} v^{i} u^{j}$ ，所以用内积定义的 $v^{i}$ 的对应，就是 $v_{i} = v^{j} g_{i j}$ ，于是 $v_{i} u^{i} = g (v, u)$ ，所以 $v_{i}$ 就是上面说的对偶向量 $ϕ$ 。

　　对于一对对偶空间，给定其中之一 $V$ 的度量，也就自然给出了 $V^{*}$ 上的对偶度量。用指标的语言来说，就是如果给定了 $g_{i j}$ ，那么可以通过 $g^{i k} g_{j k} = δ_{j}^{i}$ 来定义 $g^{i j}$ 。不用指标的话，也可以说给定 $V$ 的标准正交基，则它的对偶基也是 $V^{*}$ 的标准正交基，以此来定义 $V^{*}$ 上的度量。

　　现在定义相空间流形上的度量，使得哈密顿函数对应到我们之前定义哈密顿向量场上，方式是函数先自然对应一个余切场，然后再利用度量把余切场升指标为哈密顿向量场。这一度量就被称为 “辛形式（symplectic form）”。配备了辛形式的流形，就叫做 “辛流形（symplectic manifold）”。

　　需要注意的是，辛形式违反正定性和对称性，故不是通常意义上的度量，但依然可以发挥度量的作用来建立切丛和余切丛之间的同构，或者说进行指标升降。

2. 辛流形的构造

定义 1　辛形式

　　设 $M$ 为一 $2 n$ 维微分流形，称 $M$ 上一个闭的非退化 $2$ -形式 $ω$ 为一个辛形式（symplectic form），称 $(M, ω)$ 为一个辛流形（symplectic manifold）。

　　所谓 “非退化”，就是说在辛流形上各点处任取一个非零向量 $v$ ，则 $ω (v, v) \neq 0$ 。所谓 “闭”，就是说 $d ω = 0$ 。

　　辛流形上处处存在局部坐标系，使得此坐标系中，函数 $H$ 的哈密顿向量场的坐标表示正如式 1 描述。

1. ^ 实际上这是切丛（位置-速度空间）的定义，但

辛流形

1. 引入的动机

2. 辛流形的构造

定义 1 辛形式

定义 1　辛形式