贡献者： Giacomo; int256
1. 复流形
将光滑流形定义 6 定义中的 $\mathbb{R}^n$ 替换为 $\mathbb{C}^n$，图册中的 “光滑映射” 替换为 “全纯映射”（复解析映射）, 我们就得到复流形的定义。
定义 1 单复变全纯函数
若一个单复变函数 $f(z): \mathbb C \to C$，考虑为 $f(x+y \mathrm i)=u(x, y) + v(x, y) \mathrm i$，$x, y\in \mathbb R$，$u(x, y), v(x, y) \in \mathbb R$。则称 $f$ 是全纯的当且仅当满足柯西-黎曼条件：
\begin{equation}
\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} ~,\qquad \frac{\partial u}{\partial y} = - \frac{\partial v}{\partial x} ~.
\end{equation}
等价于说 $f$ 仅依赖于 $z$ 而不依赖于 $\bar{z}$，即
\begin{equation}
\frac{\partial f}{\partial \bar{z}} = 0 ~.
\end{equation}
定义 2 多复变全纯函数（复值）
对于一个复值多复变函数 $f(z_1, z_2, \dots, z_n): \mathbb C^n \to \mathbb C$ 是全纯函数当且仅当 $f$ 对每个变量 $z_i$ 而言都是全纯的。
定义 3 多复变全纯函数（向量值）
对于一个向量值多复变函数 $f(z_1, z_2, \dots, z_n) = (f_1, f_2, \dots, f_m): \mathbb C^n \to \mathbb C^m$，称其是全纯的当且仅当对于每个复值多复变函数 $f_i$ 而言，其对每个变量 $z_j$ 都是全纯的。
定义 4 复图和复图册
$N$ 是一个 $n$ 维拓扑流形，如果存在开集 $U \in \mathcal{T}_N$ 和拓扑同胚映射 $\varphi: U \rightarrow \tilde{U} \subseteq \mathbb{C}^n$，其中 $\tilde{U}$ 是 $\mathbb{C}^n$ 的一个开子集，那么称 $(U,\varphi)$ 是 $N$ 上的一张复图。如果图的一个集合 $\mathcal{A}=\{(U_\alpha, \varphi_\alpha)\}$ 覆盖了 $N$，即 $\bigcup\{U_\alpha\}=N$，那么称这个集合 $\mathcal{A}$ 是一个复图册。
特别需要注意由于 $\mathbb{C}$ 和它的真开子集（比如开球）不是全纯同胚的（这和实数的情况不相同），不是所有的坐标图 $\varphi: U \rightarrow \tilde{U} \subseteq \mathbb{C}^n$ 都能改写成 $\varphi': U' \rightarrow \mathbb{C}^n$ 的形式的。实际上，$\mathbb{C}$ 无法嵌入到复环面（complex tori）$\mathbb{C} / \Lambda$ 中。
定义 5 全纯相容
考虑一个拓扑流形 $N$ 的两个复图 $(U, \varphi)$ 和 $(V, \phi)$。如果 $U \cap V \neq \varnothing$，且 $\varphi \circ \phi^{-1}: \phi(V) \rightarrow \varphi(U)$ 和 $\phi \circ \varphi^{-1}: \varphi(U) \rightarrow \phi(V)$ 都是全纯（复解析）映射，那么我们称这两个图是全纯相容的（compatible）。
定义 6 复（全纯）流形
一个拓扑流形 $N$ 和加上其上一组全纯相容的复图册 $\mathcal{A}$，被称为一个复流形（complex (holomorphic) manifold） $(N, \mathcal{A})$。
未完成：证明
定义 7 全纯映射（复流形）
给定复流形 $M, N$，一个映射 $f: M \to N$ 在点 $p \in M$ 处全纯（holomorphic 或称解析 analytic），如果存在 点 $p$ 附近的坐标图 $\phi: U \ni p \to \tilde{U} \subseteq \mathbb{C}^m$，和点 $f(p)$ 附近的坐标图 $\psi: V \ni f(p) \to \tilde{V} \subseteq \mathbb{C}^n$，使得函数
$$
\psi \circ f \circ \phi^{-1}: \tilde{U} \subseteq \mathbb{C}^m \to \tilde{V} \subseteq \mathbb{C}^n~.
$$
在 $\phi(x)$ 点处全纯，如图；
$f$ 被称作全纯函数，如果它在任意点处都全纯。
未完成：交换图
未完成：切向量和余切向量
2. 解析集
定义 8 解析集
给定复流形 $M, N$ 和一个全纯映射 $f: M \to N$，对任意的 $y \in N$，
$$
f^{-1}(y)~
$$
是一个 $M$ 上的解析集。
解析集是复流形 $M$ 上的闭集合，但不一定是闭子流形。解析集的名字来自于，全纯映射又称 “（复）解析映射”。
定理 2 隐函数定理（复几何）
给定复流形 $M, N$ 和一个全纯映射 $f: M \to N$，如果 $y \in N$ 是一个正则值（regular value），即对任意的 $x \in f^{-1}(y)$，
$$
D f|_x: T_x M \to T_x N~
$$
是一个满射，那么解析集 $f^{-1}(y)$ 是 $M$ 的一个闭子流形。
这里的 $T_x M, T_x N$ 是复切空间（同构于实切空间，不同构域复化切空间）。
3. 近复流形
定义 9 （近）复结构（向量空间）
一个实向量空间 $V$ 上的一个（近）复结构是一个（实）线性映射 $j: V \to V$ 满足 $j \circ j = - \text{id}_V$。
定理 3
一个实向量空间上存在近复结构，当且仅当它的维度是偶数。
定义 10 近复结构（实流形）/近复流形
一个实流形 $M$ 上的一个近复结构是它的（实）切空间上的 “近复结构场”，即一个 $(1, 1)$ 型张量场 $J \in \Gamma(M, T_1^1 M)$ 满足对任意一点 $p$，
$$
J|_p: T_p(M) \to T_p(M)~
$$
是一个向量空间上的近复结构。
近复流形是一个带近复结构的实流形。
定理 4
复流形都是近复流形。
可以考虑对于一个局部平凡化卡 $(U, \varphi)$，$\varphi = (z_1, z_2, \dots, z_n)$，并考虑 $z_i = x_i + \mathrm i y_i$，取
\begin{equation}
J: \left\{\begin{aligned}
\frac{\partial}{\partial{x_i}} &\mapsto \frac{\partial}{\partial{y_i}} \\
\frac{\partial}{\partial{y_i}} &\mapsto - \frac{\partial}{\partial{x_i}}
\end{aligned}\right. ~~
\end{equation}
即可。
4. 可积条件
近复流形为复流形当且仅当其是可积的，当且仅当 Nijenhuis 张量恒为 $0$，类似于无挠的要求。
定义 11 Nijenhuis 张量
对于一个有近复结构 $J$ 的光滑流形 $M$，定义 Nijenhuis 张量为
\begin{equation}
N_J(X, Y) = [X, Y] + J[X, JY] + J[JX, Y] - [JX, JY] ~.
\end{equation}
有的地方把 $[X, Y]$ 写作 $-J^2[X, Y]$，是一样的。
这里中括号是 Lie 括号，即有
\begin{equation}
[X, Y] = (X^\mu \partial_\mu Y^\nu - Y^\mu \partial_\mu X^\nu) \partial_\nu ~.
\end{equation}
定理 5
带有近复结构 $J$ 的光滑流形 $M$ 是复流形当且仅当 $N_J$ 恒为 $0$，此时称 $J$ 为可积近复结构或复结构。
未完成：没有定义复流形的切空间没法往下写了