复流形

贡献者： Giacomo; int256

预备知识　流形

1. 复流形

　　将光滑流形定义 6 定义中的 $R^{n}$ 替换为 $C^{n}$ ，图册中的 “光滑映射” 替换为 “全纯映射”（复解析映射）, 我们就得到复流形的定义。

定义 1　单复变全纯函数

　　若一个单复变函数 $f (z) : C \to C$ ，考虑为 $f (x + y i) = u (x, y) + v (x, y) i$ ， $x, y \in R$ ， $u (x, y), v (x, y) \in R$ 。则称 $f$ 是全纯的当且仅当满足柯西-黎曼条件：

\begin{matrix} (1) & \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial y} = - \frac{\partial v}{\partial x} . \end{matrix}

等价于说

f

仅依赖于

z

而不依赖于

\bar{z}

，即

\begin{matrix} (2) & \frac{\partial f}{\partial \bar{z}} = 0 . \end{matrix}

定义 2　多复变全纯函数（复值）

　　对于一个复值多复变函数 $f (z_{1}, z_{2}, \dots, z_{n}) : C^{n} \to C$ 是全纯函数当且仅当 $f$ 对每个变量 $z_{i}$ 而言都是全纯的。

定义 3　多复变全纯函数（向量值）

　　对于一个向量值多复变函数 $f (z_{1}, z_{2}, \dots, z_{n}) = (f_{1}, f_{2}, \dots, f_{m}) : C^{n} \to C^{m}$ ，称其是全纯的当且仅当对于每个复值多复变函数 $f_{i}$ 而言，其对每个变量 $z_{j}$ 都是全纯的。

定义 4　复图和复图册

　　 $N$ 是一个 $n$ 维拓扑流形，如果存在开集 $U \in T_{N}$ 和拓扑同胚映射 $φ : U \to \tilde{U} \subseteq C^{n}$ ，其中 $\tilde{U}$ 是 $C^{n}$ 的一个开子集，那么称 $(U, φ)$ 是 $N$ 上的一张复图。如果图的一个集合 $A = {(U_{α}, φ_{α})}$ 覆盖了 $N$ ，即 $⋃ {U_{α}} = N$ ，那么称这个集合 $A$ 是一个复图册。

　　特别需要注意由于 $C$ 和它的真开子集（比如开球）不是全纯同胚的（这和实数的情况不相同），不是所有的坐标图 $φ : U \to \tilde{U} \subseteq C^{n}$ 都能改写成 $φ^{'} : U^{'} \to C^{n}$ 的形式的。实际上， $C$ 无法嵌入到复环面（complex tori） $C / Λ$ 中。

定义 5　全纯相容

　　考虑一个拓扑流形 $N$ 的两个复图 $(U, φ)$ 和 $(V, ϕ)$ 。如果 $U \cap V \neq \emptyset$ ，且 $φ \circ ϕ^{- 1} : ϕ (V) \to φ (U)$ 和 $ϕ \circ φ^{- 1} : φ (U) \to ϕ (V)$ 都是全纯（复解析）映射，那么我们称这两个图是全纯相容的（compatible）。

定义 6　复（全纯）流形

　　一个拓扑流形 $N$ 和加上其上一组全纯相容的复图册 $A$ ，被称为一个复流形（complex (holomorphic) manifold） $(N, A)$ 。

定理 1　

　　复流形都是可定向实流形。

未完成：证明

定义 7　全纯映射（复流形）

　　给定复流形 $M, N$ ，一个映射 $f : M \to N$ 在点 $p \in M$ 处全纯（holomorphic 或称解析 analytic），如果存在点 $p$ 附近的坐标图 $ϕ : U ∋ p \to \tilde{U} \subseteq C^{m}$ ，和点 $f (p)$ 附近的坐标图 $ψ : V ∋ f (p) \to \tilde{V} \subseteq C^{n}$ ，使得函数 $ψ \circ f \circ ϕ^{- 1} : \tilde{U} \subseteq C^{m} \to \tilde{V} \subseteq C^{n} .$ 在 $ϕ (x)$ 点处全纯，如图；

　　 $f$ 被称作全纯函数，如果它在任意点处都全纯。

未完成：交换图

未完成：切向量和余切向量

2. 解析集

定义 8　解析集

　　给定复流形 $M, N$ 和一个全纯映射 $f : M \to N$ ，对任意的 $y \in N$ ， $f^{- 1} (y)$ 是一个 $M$ 上的解析集。

　　解析集是复流形 $M$ 上的闭集合，但不一定是闭子流形。解析集的名字来自于，全纯映射又称 “（复）解析映射”。

定理 2　隐函数定理（复几何）

　　给定复流形 $M, N$ 和一个全纯映射 $f : M \to N$ ，如果 $y \in N$ 是一个正则值（regular value），即对任意的 $x \in f^{- 1} (y)$ ， $D f |_{x} : T_{x} M \to T_{x} N$ 是一个满射，那么解析集 $f^{- 1} (y)$ 是 $M$ 的一个闭子流形。

　　这里的 $T_{x} M, T_{x} N$ 是复切空间（同构于实切空间，不同构域复化切空间）。

3. 近复流形

定义 9　（近）复结构（向量空间）

　　一个实向量空间 $V$ 上的一个（近）复结构是一个（实）线性映射 $j : V \to V$ 满足 $j \circ j = - {id}_{V}$ 。

定理 3　

　　一个实向量空间上存在近复结构，当且仅当它的维度是偶数。

定义 10　近复结构（实流形）/近复流形

　　一个实流形 $M$ 上的一个近复结构是它的（实）切空间上的 “近复结构场”，即一个 $(1, 1)$ 型张量场 $J \in Γ (M, T_{1}^{1} M)$ 满足对任意一点 $p$ ， $J |_{p} : T_{p} (M) \to T_{p} (M)$ 是一个向量空间上的近复结构。

　　 近复流形是一个带近复结构的实流形。

定理 4　

　　复流形都是近复流形。

　　可以考虑对于一个局部平凡化卡 $(U, φ)$ ， $φ = (z_{1}, z_{2}, \dots, z_{n})$ ，并考虑 $z_{i} = x_{i} + i y_{i}$ ，取

\begin{matrix} (3) & J : {\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial x_{i}} & \mapsto \frac{\partial}{\partial y_{i}} \\ \frac{\partial}{\partial y_{i}} & \mapsto - \frac{\partial}{\partial x_{i}} \end{aligned} \end{matrix}

即可。

4. 可积条件

　　近复流形为复流形当且仅当其是可积的，当且仅当 Nijenhuis 张量恒为 $0$ ，类似于无挠的要求。

定义 11　Nijenhuis 张量

　　对于一个有近复结构 $J$ 的光滑流形 $M$ ，定义 Nijenhuis 张量为

\begin{matrix} (4) & N_{J} (X, Y) = [X, Y] + J [X, J Y] + J [J X, Y] - [J X, J Y] . \end{matrix}

有的地方把

[X, Y]

写作

- J^{2} [X, Y]

，是一样的。

　　这里中括号是 Lie 括号，即有

\begin{matrix} (5) & [X, Y] = (X^{μ} \partial_{μ} Y^{ν} - Y^{μ} \partial_{μ} X^{ν}) \partial_{ν} . \end{matrix}

定理 5　

　　带有近复结构 $J$ 的光滑流形 $M$ 是复流形当且仅当 $N_{J}$ 恒为 $0$ ，此时称 $J$ 为可积近复结构或复结构。

未完成：没有定义复流形的切空间没法往下写了

复流形

1. 复流形

定义 1 单复变全纯函数

定义 2 多复变全纯函数（复值）

定义 3 多复变全纯函数（向量值）

定义 4 复图和复图册

定义 5 全纯相容

定义 6 复（全纯）流形

定理 1

定义 7 全纯映射（复流形）

2. 解析集

定义 8 解析集

定理 2 隐函数定理（复几何）

3. 近复流形

定义 9 （近）复结构（向量空间）

定理 3

定义 10 近复结构（实流形）/近复流形

定理 4

4. 可积条件

定义 11 Nijenhuis 张量

定理 5

定义 1　单复变全纯函数

定义 2　多复变全纯函数（复值）

定义 3　多复变全纯函数（向量值）

定义 4　复图和复图册

定义 5　全纯相容

定义 6　复（全纯）流形

定理 1　

定义 7　全纯映射（复流形）

定义 8　解析集

定理 2　隐函数定理（复几何）

定义 9　（近）复结构（向量空间）

定理 3　

定义 10　近复结构（实流形）/近复流形

定理 4　

定义 11　Nijenhuis 张量

定理 5　