贡献者: DTSIo; addis
在微分几何中,费罗贝尼乌斯定理(Frobenius' theorem) 给出了一阶拟线性偏微分方程组可积的充分必要条件。它有许多重要的几何推论。
设 $M$ 是 $n$ 维微分流形。一个光滑 $k$ 维分布(smooth $k$-dimensional distribution,注意这不是分析学意义下代表广义函数的分布)$\mathfrak{D}$ 是指切丛 $TM$ 的 $k$ 维光滑子丛。等价地说,这表示在任何一点 $p\in M$ 都给出 $T_pM$ 的 $k$ 维子空间 $\mathfrak{D}_p$,而且 $\mathfrak{D}_p$ 光滑地依赖于 $p$。
维数为 $k$ 的光滑分布 $\mathfrak{D}$ 称为对合的(involutive),如果对于 $\mathfrak{D}$ 的任意两个光滑截面 $X,Y$,$[X,Y]$ 也还是 $\mathfrak{D}$ 的截面。
这样的分布称为可积的(integrable)。由此在小邻域内得到的子流形称为分布的积分子流形(integral submanifold),积分子流形的族称为 $M$ 局部的一个正则叶理(regular foliation)。它将流形 $M$ 在局部上划分成了许多相互不交叠的叶片。
定理的证明大意如下。不妨设 $M$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中坐标原点的小邻域。取这小邻域里 $\mathfrak{D}$ 的局部标架 $X_1,\cdots ,X_k$,使得 $X_i(0)=\partial_i|_0$ (这总可以通过适当的旋转和缩放做到),并定义映射 $\Pi: M\to \mathbb{R}^k$ 为 $$ \Pi(x^1,\cdots ,x^n)=(x^1,\cdots ,x^k)~. $$ 则对于 $p\in M$ 和 $p$ 处的切向量 $v=\sum_{i=1}^nv^i\partial_i|_p$, 有 $$ d\Pi(p)(v)=v^1\partial_1|_{\Pi(p)}+...+v^k\partial_k|_{\Pi(p)}~. $$ 于是切丛的子丛 $\text{ker}d\Pi$ 的秩是 $n-k$,且在原点的小邻域内与 $\mathfrak{D}$ 互补。故 $(d\Pi|_{\mathfrak{D}})$ 实际上是从子丛 $\mathfrak{D}$ 到切丛 $T\Pi(M)$ 的同构,因此 $(d\Pi|_{\mathfrak{D}})^{-1}$ 在丛 $T\Pi(M)=\text{span}(\partial_1,\cdots ,\partial_k)$ 上是良好定义的,而且其像正是 $\mathfrak{D}$。命 $V_i=(d\Pi|_{\mathfrak{D}})^{-1}\partial_i$,则诸 $V_i$ 都是 $\mathfrak{D}$ 的截面,根据对合性质,$[V_i,V_j]$ 也是 $\mathfrak{D}$ 的截面,而且 $$ d\Pi[V_i,V_j]=[\partial_i,\partial_j]=0~. $$ 于是 $[V_i,V_j]=0$,因此它们实际上是坐标向量场。因此 $\mathfrak{D}$ 是由坐标向量场张成的。
设 $\mathfrak{D}$ 是 $k$ 维光滑分布。如果微分 $p$-形式 $\omega$ 作用在 $\mathfrak{D}^{\otimes p}$ 的任何截面上都得到零,则称 $\omega$ 消没 $\mathfrak{D}$。显然两个消没 $\mathfrak{D}$ 的微分形式的外积仍然消没 $\mathfrak{D}$。所有消没 $\mathfrak{D}$ 的微分形式组成 $M$ 的外微分代数的子代数,称为 $\mathfrak{D}$ 的消没子(annihilator)。根据外微分的计算法则,可见 $\mathfrak{D}$ 为对合分布当且仅当对于任意消没 $\mathfrak{D}$ 的 $\omega$,$d\omega$ 仍旧消没 $\mathfrak{D}$。
在流形 $M$ 上给定 $n-k$ 个线性无关的微分形式 $\omega_{k+1},...,\omega_{n}$ 后,方程组 $$ \omega_{l}=0,\,l=+1,...,n-k~ $$ 称为一个普法夫系(Pfaffian system),它确定了一个 $k$ 维分布,即所有被 $\omega_{k+1},...,\omega_{n}$ 消没的子空间给出的分布。因此,费罗贝尼乌斯定理有下列等价形式:
费罗贝尼乌斯定理在微分几何中有广泛的应用。大致来说,它是"偏导数可交换"这一事实的推广:偏微分方程组受制于偏导数可交换这一条件,因此可积的偏微分方程组必须满足由此导出的必要条件,而费罗贝尼乌斯定理断言这些条件也是可积的充分条件。
考虑 $n$ 维自变量 $x=(x^1,...,x^n)$ 的 $m$ 个未知函数 $u=(u^1,...,u^m)$ 的拟线性偏微分方程组:
设有开集 $U\subset\mathbb{R}^n$,$V\subset\mathbb{R}^m$,函数组 $f_i^\alpha(x,z)$ 定义在 $U\times V$ 上。则对于 $x_0\in U$ 和 $z_0\in V$,是否存在定义在 $U$ 上,取值于 $V$ 中,且满足式 1 和初始条件 $u(x_0)=z_0$ 的函数组 $u=(u^1,...,u^m)$?
如果 $u=u(x),u(x_0)=z_0$ 是这方程组的解,那么根据偏导数的交换性,显然可得
如果用普法夫系来表示则更简单。命