空间的完备化

                     

贡献者： 零穹

预备知识　度量空间的稠密性，柯西序列的等价

　　 [1] 有理数集构成的度量空间（度量为差的绝对值）是稠密的，但不是完备的，将有理数构成的度量空间完备化则得到实数集度量空间。类似的，在一般的度量空间中，就有这样的问题出现：若度量空间 X 不完备，可否将它完备化？即可否在 X 中加入一些点，而保留度量的定义，使得得到的新的度量空间是完备的。答案是肯定的，这由本节所谓的度量空间的完备化得到保证。

1. 完备化

定义 1　完备化

　　 设 X 是度量空间，X∗ 是完备度量空间。如果

  1. X 是空间 X∗ 的子空间；
  2. X 在 X∗ 中处处稠密（定义 1 ），即 [X]=X∗。

　　 则称 X∗ 为 X 的完备化（completion）。

定理 1　

　　 任一度量空间 X 都有完备化，并且，在不区分使 X 中的点保持等距的映射的意义下，这个完备化是唯一的。

　　 唯一性的证明： 需要证明：若 X1 和 X2 是空间 X 的两个完备化，那么存在空间 X1 和 X2 的一一映射 ϕ，使得

  1. 对一切 x∈X,ϕ(x)=x;
  2. 对任意 x1,y1∈X1，成立 d1(x1,y1)=d2(ϕ(x1),ϕ(y1))，其中 d1,d2 分别是 X1,X2 的距离。

　　 映射 ϕ 可以如下构造：∀y1∈X1。根据完备化的定义，存在 X 中的点列 {xn}，其收敛于 y1。因为收敛点列是柯西序列（定理 1 ），且 X2 完备，因此存在 X2 中的点 y2，使得 {xn} 收敛于 y2。显然 y2 和选择收敛到 y1 的点列 {xn} 无关（因为收敛到同一点的不同柯西点列 {xn},{xn′} 构成的点列 {yn}（y2n=x1,y2n+1=xn′,n=0,1,…）仍是柯西点列，若 {xn},{xn′} 在 X2 中收敛到不同点，则 {yn} 没有极限点，从而与 X2 完备相悖）。利用 y2:=ϕ(y1) 定义 ϕ，则 ϕ 是一一的等距映射。

　　 事实上，双射性由和 y1 对应的 y2 与收敛到 y1 的点列 {xn} 无关得到；而由距离的连续性，

(1)d1(y,y′)=limn→∞d1(xn,xn′)=limn→∞d(xn,xn′)=limn→∞d2(xn,xn′)=d2(ϕ(y),ϕ(y′)). 

　　 证毕！

　　 存在性的证明：可以证明，由 “柯西序列的等价” 一节得到的 X 的柯西系列集的商空间 X∗ 正好满足要求。事实上，由定理 4 ，X⊂X∗；由定理 5 ，X 在 X∗ 中处处稠密。因此，只需证明 X∗ 是完备度量空间。

　　 定理 5 中 式 18 表明，在 X∗ 中，由 X 中的点所构成的任何柯西序列 {xn} 都收敛到 X∗ 中的某一点，即收敛到用这个序列本身所定义的点 x∗∈X∗。其次，因为 X 在 X∗ 中稠密，所以对 X∗ 中的点构成的任一柯西序列 {xn∗}，只需取 X 中满足 d(xn,xn∗)<1/n 的任何 xn，则序列 {xn} 和 {xn∗} 等价。这样的序列 {xn} 在 X 中也是柯西序列，事实上，对任一的 ϵ>0 及充分大的 n,m，有

(2)d(xn,xm)<d(xn,xn∗)+d(xn∗,xm∗)+d(xm∗,xm)<ϵ. 
因此 {xn} 收敛于某一 x∗∈X∗，由等价性，{xn∗} 也收敛于 x∗。即任一 R∗ 的柯西序列都是收敛的。

　　 证毕！

[1] ^ A.H.柯尔莫哥洛夫，C.B.佛明.函数论与泛函分析初步（段虞荣等译）第七版

                     

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