度量空间的连续映射和等距

贡献者：零穹

预备知识　度量空间

　　 [1] 连续映射在分析学和拓扑学中都有定义。从逻辑上来说，度量空间是拓扑空间的特殊情形，初等分析学中的函数（数）空间是度量空间的特殊情形。因此，更好的学习方式是从底层理论开始学的。例如，“连续映射” 的概念应当以拓扑学中的概念为最基本的概念，其它的情形的定义只不过是这一基本概念的特殊情形。然而，从现实来说，底层框架仅仅给出了构造世界的最基本构件，而生命（意识）的诞生需要在基本框架上附加更复杂的结构。因此从生命（意识）的认识来说，一开始接触到框架本身就是嵌套了额外的复杂结构，而这对于生命（意识）来说则更加感性具体。正如连续映射，从生命（意识）的认识来说，分析学中的函数的连续性则更加感性具体。这也解释为什么探寻真理的过程需要不断的进行抽象，寻找出其中更普遍的结构。因此，于我们而言，更合理的学习方式是从具有复杂结构的理论开始学习，再循序渐进的到更基本的理论中去。

　　因此，对连续映射的认识不是从拓扑空间中开始，而是以初等分析学中函数的连续性作为起点，再到达度量空间，最后才是拓扑空间。本节将从度量空间的视角去认识连续性的概念。

1. 连续映射

　　函数的连续概念通过数与数之差的绝对值来定义，这一绝对值度量了两数之间的距离。在度量空间中，有距离的概念，因此，可以类似的建立起度量空间中连续映射的概念。

定义 1　连续映射

　　设 $(X_{1}, d_{1}), (X_{2}, d_{2})$ 是两度量空间， $f : X_{1} \to X_{2}$ 是 $X_{1}$ 到 $X_{2}$ 上的映射， $x_{0} \in X_{1}$ 。若对任意的 $ϵ > 0$ ，存在 $δ > 0$ 满足

\begin{matrix} (1) & d_{1} (x, x_{0}) < δ \Rightarrow d_{2} (f (x), f (x_{0})) < ϵ, \end{matrix}

则称

f

在

x_{0}

处连续。若

f

在

X_{1}

的每一点都连续，则称

f

在

X_{1}

上连续。

例 1　连续函数

　　若 $X_{1}, X_{2} \in R$ ，则定义 1 的连续性定义便是连续函数的定义。

　　类似的，可以定义多元映射的连续性。

定义 2　

　　设 $(X, d), (X_{i}, d_{i}), i = 1, \dots, n$ 是度量空间， $f : X_{1} \times \dots \times X_{n} \to X$ 是映射， $x = (x_{1}, \dots, x_{n}) \in X_{1} \times \dots \times X_{n}$ 。若对任意的 $ϵ > 0$ ，存在 $δ > 0$ 满足

\begin{matrix} (2) & d_{i} (y_{i}, x_{i}) < δ, i = 1 \dots, n \Rightarrow d (f (y), f (x)) < ϵ, \end{matrix}

则称

f

在

x

处连续，其中

y = (y_{1}, \dots, y_{n})

。若

f

在

X_{1} \times \dots \times X_{n}

的每一点都连续，则称

f

在

X_{1} \times \dots \times X_{n}

上连续。

2. 距离是连续的

引理 1　有关距离的一个不等式

　　设 $(X, d)$ 是度量空间，则

\begin{matrix} (3) & | d (x, y) - d (x_{0}, y_{0}) | \leq d (x_{0}, x) + d (y_{0}, y) . \end{matrix}

　　 证明： 由三角不等式（定义 1 ），有

\begin{matrix} (4) & \begin{aligned} | d (x, y) - d (x_{0}, y_{0}) | & \leq | d (x, y_{0}) + d (y_{0}, y) - d (x_{0}, y_{0}) | \\ \leq | d (x, x_{0}) + d (x_{0}, y_{0}) + d (y_{0}, y) - d (x_{0}, y_{0}) | \\ \overset{d 的正定性和对称性}{=} d (x_{0}, x) + d (y_{0}, y) . \end{aligned} \end{matrix}

证毕！

定理 1　距离的连续性

　　度量空间的距离是连续的。即若 $(X, d)$ 是度量空间，则 $d$ 在 $X$ 上是连续的。

　　 证明： 由引理 1 ，对任意 $ϵ > 0$ ，选取 $δ = ϵ / 2$ ，则对 $d (x, x_{0}) < δ, d (y, y_{0}) < δ$ ，成立

\begin{matrix} (5) & | d (x, y) - d (x_{0}, y_{0}) | \leq d (x, x_{0}) + d (y, y_{0}) < ϵ . \end{matrix}

证毕！

3. 等距

定义 3　同胚

　　度量空间 $X$ 到 $Y$ 的连续映射 $f : X \to Y$ 称为同胚，若 $f$ 是双射。可以建立同胚的空间 $X, Y$ 称为相互同胚的。

例 2　

\begin{matrix} (6) & y = \frac{2}{π} \arctan x \end{matrix}

是

(- \infty, \infty)

到

(- 1, 1)

上的同胚映射。

定义 4　等距

　　设 $(X_{1}, d_{1}), (X_{2}, d_{2})$ 是两度量空间， $f : X \to Y$ 是双射。若对 $\forall x, y \in X_{1}$ ，成立

\begin{matrix} (7) & d_{2} (f (x), f (y)) = d_{1} (x, y), \end{matrix}

则称

f

为

(X_{1}, d_{1})

到

(X_{2}, d_{2})

的等距（isometry）。能够建立等距映射的两度量空间称为等距的（isometric）。

[1] ^ A.H.柯尔莫哥洛夫，C.B.佛明.函数论与泛函分析初步（段虞荣等译）第七版

度量空间的连续映射和等距

1. 连续映射

定义 1 连续映射

例 1 连续函数

定义 2

2. 距离是连续的

引理 1 有关距离的一个不等式

定理 1 距离的连续性

3. 等距

定义 3 同胚

例 2

定义 4 等距

定义 1　连续映射

例 1　连续函数

定义 2　

引理 1　有关距离的一个不等式

定理 1　距离的连续性

定义 3　同胚

例 2　

定义 4　等距