贡献者： 零穹
[1] 连续映射在分析学和拓扑学中都有定义。从逻辑上来说，度量空间是拓扑空间的特殊情形，初等分析学中的函数（数）空间是度量空间的特殊情形。因此，更好的学习方式是从底层理论开始学的。例如，“连续映射” 的概念应当以拓扑学中的概念为最基本的概念，其它的情形的定义只不过是这一基本概念的特殊情形。然而，从现实来说，底层框架仅仅给出了构造世界的最基本构件，而生命（意识）的诞生需要在基本框架上附加更复杂的结构。因此从生命（意识）的认识来说，一开始接触到框架本身就是嵌套了额外的复杂结构，而这对于生命（意识）来说则更加感性具体。正如连续映射，从生命（意识）的认识来说，分析学中的函数的连续性则更加感性具体。这也解释为什么探寻真理的过程需要不断的进行抽象，寻找出其中更普遍的结构。因此，于我们而言，更合理的学习方式是从具有复杂结构的理论开始学习，再循序渐进的到更基本的理论中去。
因此，对连续映射的认识不是从拓扑空间中开始，而是以初等分析学中函数的连续性作为起点，再到达度量空间，最后才是拓扑空间。本节将从度量空间的视角去认识连续性的概念。
1. 连续映射
函数的连续概念通过数与数之差的绝对值来定义，这一绝对值度量了两数之间的距离。在度量空间中，有距离的概念，因此，可以类似的建立起度量空间中连续映射的概念。
定义 1 连续映射
设 $(X_1,d_1),(X_2,d_2)$ 是两度量空间，$f:X_1\rightarrow X_2$ 是 $X_1$ 到 $X_2$ 上的映射，$x_0\in X_1$。若对任意的 $\epsilon>0$，存在 $\delta>0$ 满足
\begin{equation}
d_1(x,x_0)<\delta \Rightarrow d_2(f(x),f(x_0))<\epsilon,~
\end{equation}
则称 $f$ 在 $x_0$ 处
连续。若 $f$ 在 $X_1$ 的每一点都连续，则称 $f$ 在 $X_1$ 上
连续。
例 1 连续函数
若 $X_1,X_2\in\mathbb R$，则定义 1 的连续性定义便是连续函数的定义。
类似的，可以定义多元映射的连续性。
定义 2
设 $(X,d),(X_i,d_i),i=1,\ldots,n$ 是度量空间，$f:X_1\times\cdots\times X_n\rightarrow X$ 是映射，$x=(x_1,\ldots,x_n)\in X_1\times\cdots\times X_n$。若对任意的 $\epsilon>0$，存在 $\delta>0$ 满足
\begin{equation}
d_i(y_i,x_i)<\delta,i=1\cdots,n\quad \Rightarrow\quad d(f(y),f(x))<\epsilon,~
\end{equation}
则称 $f$ 在 $x$ 处
连续，其中 $y=(y_1,\cdots,y_n)$。若 $f$ 在 $X_1\times\cdots\times X_n$ 的每一点都连续，则称 $f$ 在 $X_1\times\cdots\times X_n$ 上
连续。
2. 距离是连续的
引理 1 有关距离的一个不等式
设 $(X,d)$ 是度量空间，则
\begin{equation}
\left\lvert d(x,y)-d(x_0,y_0) \right\rvert \leq d(x_0,x)+d(y_0,y).~
\end{equation}
证明：
由三角不等式（定义 1 ），有
\begin{equation}
\begin{aligned}
\left\lvert d(x,y)-d(x_0,y_0) \right\rvert &\leq \left\lvert d(x,y_0)+d(y_0,y)-d(x_0,y_0) \right\rvert \\
&\leq \left\lvert d(x,x_0)+d(x_0,y_0)+d(y_0,y)-d(x_0,y_0) \right\rvert \\
&\xlongequal{d\text{的正定性和对称性}}d(x_0,x)+d(y_0,y).
\end{aligned}~
\end{equation}
定理 1 距离的连续性
度量空间的距离是连续的。即若 $(X,d)$ 是度量空间，则 $d$ 在 $X$ 上是连续的。
证明：
由引理 1 ，对任意 $\epsilon>0$，选取 $\delta=\epsilon/2$，则对 $d(x,x_0)<\delta,d(y,y_0)<\delta$，成立
\begin{equation}
\left\lvert d(x,y)-d(x_0,y_0) \right\rvert \leq d(x,x_0)+d(y,y_0)<\epsilon.~
\end{equation}
3. 等距
定义 3 同胚
度量空间 $X$ 到 $Y$ 的连续映射 $f:X\rightarrow Y$ 称为同胚，若 $f$ 是双射。可以建立同胚的空间 $X,Y$ 称为相互同胚的。
例 2
\begin{equation}
y=\frac{2}{\pi}\arctan x~
\end{equation}
是 $(-\infty,\infty)$ 到 $(-1,1)$ 上的同胚映射。
定义 4 等距
设 $(X_1,d_1),(X_2,d_2)$ 是两度量空间，$f:X\rightarrow Y$ 是双射。若对 $\forall x,y\in X_1$，成立
\begin{equation}
d_2(f(x),f(y))=d_1(x,y),~
\end{equation}
则称 $f$ 为 $(X_1,d_1)$ 到 $(X_2,d_2)$ 的
等距（isometry）。能够建立等距映射的两度量空间称为
等距的（isometric）。
[1] ^ A.H.柯尔莫哥洛夫，C.B.佛明.函数论与泛函分析初步（段虞荣等译）第七版