球套定理

                     

贡献者: 零穹

预备知识 柯西序列、完备度量空间

   [1] 在分析学中,所谓区间套定理(定理 3 )被广泛的应用。在度量空间理论中,本节所谓的球套定理也具有类似的作用。

   首先需要明确度量空间 $(X,d)$ 的是指:以某点 $x_0\in X$ 为中心,正实数 $r\in\mathbb R^+$ 为半径的集合

\begin{equation} B_{r}(x_0):=B(x_0,r):=\{x|d(x,x_0)\leq(or <)r,x\in X\}.~ \end{equation}
若上式中是 $\leq$ 则称为闭球,若是 $<$ 则称为开球

定义 1 球套

   设 $(X,d)$ 是度量空间,序列 $\{B_n\}$ ($B_n:=B(x_n,r_n)$)中的每一个 $B_i$ 都是 $X$ 中的球。若 $B_{i+1}\subset B_{i},i=1,2,\ldots$,则称 $\{B_n\}$ 为 $X$ 上的球套。若球套中每一球都是闭球,则球套称为闭球套;若每一球都是开球,则称为开球套

定理 1 球套定理

   度量空间 $(X,d)$ 是完备的充要条件是:$X$ 中半径趋于 0 的任一闭球套的有非空的交。即若 $\{B_n\}$ 是 $X$ 闭球套,且 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}r_n=0$,那么 $\bigcap\limits_n B_n\neq\emptyset$。

   证明:

   必要性:设 $(X,d)$ 是完备的,并设 $\{B_n\}$ 是其上的任一闭球套,其中 $B_n$ 的球心为 $x_n$,半径为 $r_n$。则序列 $\{x_n\}$ 是柯西序列。事实上,当 $m>n$ 时,$d(x_m,x_n)< r_n$(根据球套的定义),而 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}r_n=0$。这就是说,任一 $\epsilon>0$,存在 $N$,只要 $n\geq N$,就有 $d(x_m,x_n)<\epsilon$,因此 $\{x_n\}$ 是柯西序列。

   由于完备性,$\{x_n\}$ 的极限存在,设 $x=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n$。$B_n$ 显然包含所有的点 $x_i,i\geq n$,于是 $x$ 的任一邻域都包含有 $B_n$ 的点,因而 $x\in B_n,n=1,2,\ldots$,进而 $x\in\bigcap\limits_n B_n$。即闭球套有非空的交。

   充分性:设 $\{x_n\}$ 是柯西序列。若能以该序列构造(通过 $\{x_n\}$ 的某一子序列)半径趋于 0 的闭球套,则由定理假设知该闭球套具有公共点。由于该公共点的每一邻域都包含从某一项 $n$ 开始的(子序列的)所有点,那么它就是(子序列的)极限点。从而 $\{x_n\}$ 收敛到该极限点。我们构造如下:

   在 $\{x_n\}$ 中选取这样的点 $x_{n_1}$ 作为半径为 1 的闭球 $B_1$ 的中心,使得一切 $n\geq n_1$,$d(x_n,x_{x_1})<1/2$(根据柯西序列定义 1 )。然后在 $\{x_n\}$ 中选取 $x_{n_2}$ 作为半径为 1/2 的闭球 $B_2$ 的中心,使得 $n_2>n_1$,且对一切 $n\geq n_2$,$d(x_n,x_{x_2})<1/2^2$。以此类推,我们总是选取满足 $n_{k+1}>n_k$,且对一切 $n\geq n_{k+1}$,$d(x_n,x_{n_{k+1}})<1/2^{k+1}$ 的 $x_{n_{k+1}}$ 作为半径为 $1/2^k$ 的球 $B_{k+1}$ 的中心。由于对 $k=1,\ldots,$ 成立

\begin{equation} \begin{aligned} d(z,x_{n_k})&\leq d(z,x_{n_{k+1}})+d(x_{n_k},x_{n_{k+1}})\\ &<1/2^{k+1}+1/2^k\\ &=3/2^{k+1}\\ &<1/2^{k-1}. \end{aligned}~ \end{equation}
所以上面构造的闭球序列是闭球套。因此,它们有非空的交,从而就是序列 $\{x_{n_k}\}$ 的极限点。从而就是柯西序列 $\{x_n\}$ 的极限。

   证毕!


[1] ^ A.H.柯尔莫哥洛夫,C.B.佛明.函数论与泛函分析初步(段虞荣等译)第七版

                     

© 小时科技 保留一切权利