单摆（大摆角）

贡献者： coppersoulfate; addis

预备知识　单摆，椭圆积分

　　令最大摆角为 $θ_{0}$ ，能量守恒，机械能为

\begin{matrix} (1) & E = \frac{1}{2} m l^{2} {\dot{θ}}^{2} - m g l \cos θ = - m g l \cos θ_{0}, \end{matrix}

所以

θ

处的角速度为

\begin{matrix} (2) & \dot{θ} = \sqrt{\frac{2 g}{l} (\cos θ - \cos θ_{0})} . \end{matrix}

令

t = 0

时

θ = 0

且

\dot{θ} > 0

，该微分方程的解可以用椭圆积分式 3 表示

\begin{matrix} (3) & t (α) = \sqrt{\frac{l}{2 g}} \int_{0}^{α} \frac{d θ}{\sqrt{\cos θ - \cos θ_{0}}} = \sqrt{\frac{l}{g}} \csc \frac{θ_{0}}{2} F (\frac{α}{2}, \csc \frac{θ_{0}}{2}), (0 ⩽ α ⩽ θ_{0}) . \end{matrix}

周期可以表示为从最低点第一次摆到最高点所需时间的 4 倍

\begin{matrix} (4) & T = 4 t (θ_{0}) = 4 \sqrt{\frac{l}{g}} \csc \frac{θ_{0}}{2} F (\frac{θ_{0}}{2}, \csc \frac{θ_{0}}{2}) . \end{matrix}

Wikipedia 给出的公式为

\begin{matrix} (5) & T = 4 \sqrt{\frac{l}{g}} F (\frac{π}{2}, \sin \frac{θ_{0}}{2}) . \end{matrix}

此式可由式 3 作如下变换得到：

\begin{matrix} (6) & t (α) = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{l}{g}} \int_{0}^{α} \frac{d θ}{\sqrt{\sin^{2} \frac{θ_{0}}{2} - \sin^{2} \frac{θ}{2}}} . \end{matrix}

令

\begin{matrix} (7) & \sin ϕ (θ) = \frac{\sin^{2} \frac{θ}{2}}{\sin^{2} \frac{θ_{0}}{2}}, \end{matrix}

则

\begin{matrix} (8) & d θ = 2 \frac{\sin \frac{θ_{0}}{2}}{\cos \frac{θ}{2}} \cos ϕ (θ) d ϕ = 2 \frac{\sin \frac{θ_{0}}{2}}{\sqrt{1 - \sin^{2} \frac{θ}{2}}} \sqrt{1 - \sin^{2} ϕ (θ)} d ϕ = 2 \frac{\sqrt{\sin^{2} \frac{θ_{0}}{2} - \sin^{2} \frac{θ}{2}}}{\sqrt{1 - \sin^{2} \frac{θ_{0}}{2} \sin^{2} ϕ (θ)}} d ϕ . \end{matrix}

代入式 6 有

\begin{matrix} (9) & t (α) = \sqrt{\frac{l}{g}} \int_{0}^{ϕ (α)} \frac{d ϕ}{\sqrt{1 - \sin^{2} \frac{θ_{0}}{2} \sin^{2} ϕ (θ)}} . \end{matrix}

又

ϕ (θ_{0}) = \frac{π}{2}

，则

\begin{matrix} (10) & T = 4 t (θ_{0}) = \sqrt{\frac{l}{g}} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{d ϕ}{\sqrt{1 - \sin^{2} \frac{θ_{0}}{2} \sin^{2} ϕ (θ)}} = 4 \sqrt{\frac{l}{g}} F (\frac{π}{2}, \sin \frac{θ_{0}}{2}), \end{matrix}

与式 5 相同。

　　（图未完成）（未完成：周期的级数展开， $θ (t)$ 级数解）

　　

未完成：泰勒展开一下

图 1：123

图 2：请添加图片描述

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