简谐振子受迫运动

贡献者： addis

预备知识　受阻简谐振子，振动的指数形式

　　在受阻简谐振子的基础上，若给振子额外施加一个周期变化的力（驱动力），得到微分方程如下。

\begin{equation} m\ddot y = -\alpha \dot y - ky + f(t)~, \end{equation}

这时一个二阶常系数非齐次微分方程。

1. 简谐振动

　　以下先来讨论 $f(t)$ 为简谐函数的情况，该讨论并不需要直接解微分方程。令其振幅为 $B$，频率为 $\omega$。我们姑且假设经过足够长的时间后，该弹簧振子也会做简谐振动，振动频率等于 $f(t)$ 的频率。若能找到一个这样的解，就说明该假设是对的。

　　为了方便计算，我们用指数形式表示振动，设

\begin{equation} \tilde y(t) = \tilde A \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} \omega t} ~,\qquad \tilde f(t) = \tilde B \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} \omega t}~. \end{equation}

由于我们的微分方程是线性的，如果复数形式的 $y(t)$ 和 $f(t)$ 能满足微分方程，那么它们的实部也能满足该微分方程。将它们代入式 1 ，得

\begin{equation} \tilde A = \frac{\tilde B}{k -\omega^2 m - \mathrm{i} \alpha\omega}~. \end{equation}

由于弹簧振子的固有频率为 $\omega_0 = \sqrt{k/m}$，上式可用 $\omega_0$ 表示为

\begin{equation} \tilde A = \frac{\tilde B}{m(\omega_0^2 - \omega^2) - \mathrm{i} \alpha\omega}~. \end{equation}

上式两边求模长，得到简谐振子的振幅 $A = |\tilde A|$ 与驱动力频率 $\omega$ 的关系，称为幅频关系

\begin{equation} A = \frac{B}{\sqrt{(\omega^2 - \omega_0^2)^2 m^2 + \alpha^2\omega^2}}~. \end{equation}

假设 $\tilde B$ 的辐角为零，对 $\tilde A$ 求负辐角，得简谐振子初相位 $\varphi_0$ 与驱动频率 $\omega$ 的关系，称为相频关系（$\arctan2$ 的定义见）

\begin{equation} \varphi_0 = -\arg \tilde A = \arctan2 \left[m(\omega_0^2 - \omega^2), -\alpha\omega \right] ~. \end{equation}

图 1：幅频曲线和相频曲线

　　式 5 的根号内是关于 $\omega^2$ 的二次函数，求得二次函数最小值的位置为

\begin{equation} \omega_m = \sqrt{\omega_0^2 - \frac{\alpha^2}{2m^2}}~. \end{equation}

幅频曲线可改写为

\begin{equation} A = \frac{B}{m\sqrt{(\omega^2 - \omega_m^2)^2 + (\omega_0^4 - \omega_m^4)}}~, \end{equation}

所以 $A$ 的最大值为

\begin{equation} A_m = \frac{B}{m\sqrt{\omega_0^4 - \omega_m^4}}~. \end{equation}

由式 8 可得，当 $\omega = 0$ 和 $\omega\to +\infty$ 时，振幅分别为 $B/k$ 和 $0$。前者代表施加的是一个恒力，结论符合胡克定律。

　　再来观察相频曲线，注意初相位始终为负，说明简谐运动的相位始终落后于驱动力的相位，且频率越快，落后越多。由式 6 可知当 $\omega\to +\infty$ 时相位恰好落后 $\pi$。