贡献者： addis
简谐振子的微分方程
\begin{equation}
m\ddot x = - kx~
\end{equation}
是一个二阶常系数齐次微分方程。其复数域的通解可以表示为
\begin{equation}
x(t) = C_1 \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \omega t} + C_2 \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} \omega t}~,
\end{equation}
其中 $C_1, C_2$ 是任意复常数。由于指数函数的运算往往比三角函数方便，物理或工程中常常用指数函数表示振动，即把
式 1 的通解记为
1
\begin{equation}
\tilde x(t) = \tilde A \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} \omega t}~,
\end{equation}
其中 $\tilde A$ 是一个复数
2，称为
复振幅，$\tilde A$ 的模长 $A = |\tilde A|$ 就是振幅，$\tilde A$ 辐角的相反数 $\varphi_0 = -\arg(\tilde A)$ 就是初相位
3。当我们用
式 3 表示振动时，其实部表示质点的坐标，
虚部没有物理意义。
为了验证式 3 的确包含了实数域的通解，我们可以先把复振幅表示为 $\tilde A = A \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} \varphi_0}$，代入式 3 ，再取实部得
\begin{equation}
x(t) = \operatorname{Re} [\tilde x(t)] = A \operatorname{Re} \left[ \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} (\omega t + \varphi_0)} \right] = A \cos\left(\omega t + \varphi_0\right) ~.
\end{equation}
1. 速度和加速度
由于复数的求导等效于对实部和虚部分别求导，当我们求速度或加速度时，也可以直接对式 3 求导。
\begin{equation}
\tilde v(t) = \frac{\mathrm{d}{\tilde x}}{\mathrm{d}{t}} = - \mathrm{i} \omega \tilde A \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} \omega t}~.
\end{equation}
它的实部就是质点的速度
\begin{equation}
v(t) = \operatorname{Re} [\tilde v(t)] = A \operatorname{Re} \left[- \mathrm{i} \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} \ (\omega t + \varphi_0)} \right] = -\omega A \sin\left(\omega t + \varphi_0\right) ~,
\end{equation}
可以验证这和直接对
式 4 求导相同。然而
式 5 的复数表示要简洁得多。同理，加速度的复数形式为
\begin{equation}
\tilde a(t) = \frac{\mathrm{d}^{2}{\tilde x}}{\mathrm{d}{t}^{2}} = -\omega^2 \tilde A \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} \omega t}~,
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{aligned}
a(t) &= \operatorname{Re} [\tilde a(t)] = -\omega^2 \operatorname{Re} [\tilde x(t)] = -\omega^2 x(t)\\
&= -\omega^2 A \cos\left(\omega t + \varphi_0\right) ~.
\end{aligned}
\end{equation}
相比于对
式 4 求二阶导数，
式 7 同样简洁得多。
2. 振动的叠加
这里举另一个例子说明使用指数函数表示振动比三角函数方便。假设有若干个频率相同但振幅和初相位各不相同的振动 $x_i(t) = A_i \cos\left(\omega t + \varphi_{0i}\right) $，现在我们来计算它们叠加的结果，即 $\sum_i x_i(t)$。若用两角和公式（式 5 ）直接计算，得
\begin{equation} \begin{aligned}
\sum_i x_i(t) &= \sum_i [ A_i \cos\varphi_{0i} \cos\left(\omega t\right) - A_i\sin\varphi_{0i} \sin\left(\omega t\right) ]~,\\
&= \sum_i (A_i \cos\varphi_{0i}) \cos\left(\omega t\right) - \sum_i(A_i\sin\varphi_{0i}) \sin\left(\omega t\right) ~.
\end{aligned} \end{equation}
分别令 $C = \sum_i A_i \cos\varphi_{0i}$，$D = \sum_i A_i \sin\varphi_{0i}$，且令 $A = \sqrt{C^2 + D^2}$，以及令 $\varphi_0$ 满足 $\cos\varphi_0 = C/A$，$\sin\varphi_0 = D/A$，则上式变为
\begin{equation}
\sum_i x_i(t) = A [\cos\varphi_0 \cos\left(\omega t\right) - \sin\varphi_0 \sin\left(\omega t\right) ]
= A \cos\left(\omega t + \varphi_0\right) ~,
\end{equation}
可见任意多个相同频率的简谐波叠加仍然是该频率的一个简谐波。
若我们用指数形式的振动来进行同样的计算，第 $i$ 个振动可表示为 $\tilde x_i(t) = \tilde A_i \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} \omega t}$，其中 $\tilde A_i = A_i \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} \omega\varphi_{0i}}$。求和得
\begin{equation}
\sum_i \tilde x_i(t) = \left(\sum_i \tilde A_i \right) \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} \omega t}~.
\end{equation}
令 $\tilde A = \sum_i \tilde A_i$，$A = |\tilde A|$，$\varphi_0 = -\arg(\tilde A)$，则最后结果为
\begin{equation}
\sum_i \tilde x_i(t) = \tilde A \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} \omega t}~,
\end{equation}
\begin{equation}
\sum_i x_i(t) = \operatorname{Re} \left[\tilde A \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} \omega t} \right] = A \cos\left(\omega t + \varphi_0\right) ~.
\end{equation}
不难证明上式的 $A$ 和 $\varphi_0$ 与
式 10 得到的 $A$ 和 $\varphi_0$ 相同，但是这里的推导的过程却更为简洁。
1. ^ 式 3 中 $ \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} \omega t}$ 里的负号是一种习惯，有些教材中也会使用正号。无论使用哪一种，必须在计算中保持一致。
2. ^ 在变量上方加波浪线通常为了强调该变量是一个复数，但为了书写方便有时候也会省略，需要从语境中判断。
3. ^ 如果式 3 中没有负号，则初相位定义为 $\varphi_0 = \arg(\tilde A)$