贡献者： 零穹; addis
预备知识 胡克定律
图 1：弹簧的串联（左）、并联（右）
两个劲度系数为 $k_1, k_2$ 的弹簧的串联后劲度系数为 $k$，那么
\begin{equation}
\frac{1}{k} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2}
\quad \text{或} \qquad
k = \frac{k_1 k_2}{k_1 + k_2}~.
\end{equation}
若并联后劲度系数为 $k$，那么
\begin{equation}
k = k_1 + k_2~.
\end{equation}
可见弹簧的串联和并联分别类似于
电阻的并联和串联。类似地多个弹簧串联或并联有
\begin{equation}
\frac{1}{k} = \sum_i \frac{1}{k_i}~,
\end{equation}
\begin{equation}
k = \sum_i k_i~.
\end{equation}
1. 推导
弹簧的串联
先考虑两弹簧串联的情况，
如图 1 左，对于弹簧的串联，设弹簧系统两边受力 $F$ 达到平衡。对弹簧 $1$ 受力分析，由平衡条件，其受弹簧 $2$ 的力大小 $F_1$ 等于外力 $F$，由牛顿第三定律，弹簧 $2$ 受弹簧 $1$ 作用力大小 $F_2$ 也为 $F$。即
\begin{equation}
F_1=F_2=F~.
\end{equation}
由胡克定律 $F=-k\Delta x$，上式可写为
\begin{equation}
k_1\Delta x_1=k_2\Delta x_2=-F~.
\end{equation}
那么对于弹簧系统，其劲度系数 $k$ 为
\begin{equation}
k=\frac{-F}{\Delta x}=\frac{-F}{\Delta x_1+\Delta x_2}=\frac{-F}{\frac{-F}{k_1}+\frac{-F}{k_2}}=\frac{k_1k_2}{k_1+k_2}~,
\end{equation}
或者
\begin{equation}
\frac{1}{k}=\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}~.
\end{equation}
现在，我们用数学归纳法推导 $n(n\in \mathbb N)$ 个弹簧的串联公式式 3 。
1）对于 $n=2$ 的情形，已由上面所证明；
2）假设对任意给定的 $n=l$，式 3 成立，那么对 $n=l+1$ 情形，可看成前 $l$ 个弹簧串联的弹簧系统（劲度系数 $k_l$）与第 $l+1$ 个弹簧（劲度系数 $ k_{l+1}$）串联的情形。即对于 $n=l+1$ 个弹簧串联的系统，其劲度系数 $k$ 满足
\begin{equation}
\frac{1}{k}=\frac{1}{k_l}+\frac{1}{k_{l+1}}~.
\end{equation}
由假设
\begin{equation}
\frac{1}{k_l}=\sum\limits_{i=1}^{l}\frac{1}{k_i}~,
\end{equation}
代入
式 9 ，得
\begin{equation}
\frac{1}{k_l}=\sum\limits_{i=1}^{l+1}\frac{1}{k_i}~.
\end{equation}
由数学归纳法原理，式 3 成立
弹簧的并联
同样，先考虑两弹簧并联的情况，
如图 1 右，对于弹簧的并联，设弹簧系统两边受力 $F$ 达到平衡。设弹簧 1 和弹簧 2 受力分别为 $F_1$ 和 $F_2$，对整个系统受力分析，由平衡条件
\begin{equation}
F_1+F_2=F~,
\end{equation}
而对并联情形，明显有整个系统伸长量 $\Delta x$、两弹簧伸长量 $\Delta x_1$ 和 $\Delta x_2$ 三者相同
\begin{equation}
\Delta x=\Delta x_1=\Delta x_2~.
\end{equation}
由胡克定律 $F=-k\Delta x$，
式 16 可写为
\begin{equation}
k_1\Delta x_1+k_2\Delta x_2=k\Delta x~.
\end{equation}
代入
式 14 ，得整个弹簧系统劲度系数 $k$
\begin{equation}
k=k_1+k_2~.
\end{equation}
与弹簧串联中证明完全类似，我们得到 $n$ 个弹簧并联时的公式式 4
2. 弹簧的切割
如果把一根均匀弹簧切割成原长的 $\lambda$（$\lambda < 1$）倍，那么它的劲度系数变为
\begin{equation}
k' = \frac{k}{\lambda}~.
\end{equation}
证明：我们可以把弹簧原长分割成 $n$ 等分，由于弹簧是均匀的，每份的劲度系数都为 $k_0$，那么根据式 3 有
\begin{equation}
k_0 = nk~,
\end{equation}
然后再把其中连续的 $m$（$m < n$）等分串联，有
\begin{equation}
k' = \frac{n}{m}k~.
\end{equation}
由于以上的 $m, n$ 可以任取，我们可以使 $m/n \to x$（当 $x$ 是有理数时取等号）。所以有
式 16 。
例 1
一根弹性绳劲度系数为 $k$，固定在水平相距为 $L$ 的两点之间，绳子原长远小于 $L$。在距离绳一端 $x$ 处固定一个质点，质点受重力下沉后使其平衡静止，求下沉的深度 $h$。
图 2：受力分析
假设质点左边部分的原长占总原长的比例为 $\lambda$，右边部分的原长占 $1-\lambda$，则有
\begin{equation}
\left\{\begin{aligned}
&\frac{k_1}{k_2} = \frac{1-\lambda}{\lambda}\\
&\frac{1}{k} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2}~.
\end{aligned}\right.
\end{equation}
根据
式 16
\begin{equation}
k_1 = \frac{k}{\lambda} ~,\qquad
k_2 = \frac{k}{1-\lambda}~.
\end{equation}
受力分析
\begin{equation}
\left\{\begin{aligned}
&T_1\sin\theta_1 + T_2\sin\theta_2 = mg\\
&T_1\cos\theta_1 = T_2\cos\theta_2~,
\end{aligned}\right.
\end{equation}
其中
\begin{equation}
\tan\theta_1 = \frac{h}{x}~,
\qquad
\tan\theta_2 = \frac{h}{L-x}~,
\end{equation}
\begin{equation}
T_1 = \frac{x}{\cos\theta_1} k_1 ~,\qquad
T_2 = \frac{L-x}{\cos\theta_2} k_2~.
\end{equation}
解得
\begin{equation}
h = \frac{mg}{Lk \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{L-x} \right) }~.
\end{equation}
