简谐振子的品质因数

                     

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　　 简谐振子的品质因数为

其中 $k$ 为弹性系数，$\alpha$ 为线性阻尼，${\omega }_m$ 为共振角频率。

　　 弹簧振子的品质因数有几种定义方法，它们是等效的

1. 从能量定义

其中 $E$ 是当 $\omega ={\omega }_m$ 时弹簧振子做简谐运动的总能量，$W$ 是 $\omega ={\omega }_m$ 时 $f(t)$ 在一个周期内给弹簧振子做的功，等于阻力在一个周期内消耗的能量。下面根据该定义推导。

　　 当达到共振频率时（$\omega ={\omega }_m$），外力一周期做功

　　 令 $A=A_x+\mathrm{i}{A}_y$，则

代入方程，得 另外弹簧振子的总能量为 $E=k{\left|A\right|}^2/2$，所以品质因数为 此时 所以 代入式 7 ，得品质因数为

2. 从幅频曲线定义

　　 当线性阻尼 $\alpha$ 很小时，品质因数为

其中 $\mathrm{\Delta }\omega$ 是系统的能量—频率曲线的半高宽（FWHM）。由此可以看出品质因数越大，幅频曲线就越尖锐越细。

　　 由于弹簧振子能量为 $E=k{\left|A\right|}_{max}^2/2$，$\mathrm{\Delta }\omega$ 也是幅频曲线的 “$1/\sqrt{2}$ 高宽”。即满足

的 $\omega$ 区间的宽度。

　　 由于

当阻力系数 $\alpha$ 很小时，弹簧振子的共振频率接近于无阻力时的频率。根据（未完成）， 所以可以认为 ${\omega }_m\approx {\omega }_0$。

　　 把幅频关系

代入式 13 得 解得 所以区间以 ${\omega }_0$ 为中心且 而 $\mathrm{\Delta }({\omega }^2)\approx 2{\omega }_m\mathrm{\Delta }\omega$，所以 其中 所以 $\mathrm{\Delta }\omega =\alpha /m$。所以 与第一种定义结论一致。