贡献者： JierPeter; addis
1. 二自由度简谐振子
考虑轻质弹簧与两个光滑滑块构成的体系，如图 1 所示。
图 1：两个滑块和两根弹簧构成的简谐振子。
和简谐振子（经典力学）的情况一样，弹簧的原长不重要，因此图中没给出。我们用 $x_1$ 和 $x_2$ 分别表示滑块 $m_1$ 和 $m_2$ 的位置，其中 $x_1$ 表示弹簧 $k_1$ 的长度减去其原长，$x_2$ 表示弹簧 $k_2$ 的长度减去其原长。显然，当 $x_1=x_2=0$ 时两根弹簧都处于原长。
则这个体系的运动方程为
\begin{equation}
\left\{\begin{aligned}
m_1\ddot{x}_1 &= -k_1x_1+k_2x_2\\
m_2\ddot{x}_1 &= -k_2x_2~.
\end{aligned}\right.
\end{equation}
这个体系也是也是一个简谐振子。由于它需要两个参数 $x_1, x_2$ 来刻画，因此也称作二自由度的简谐振子。
当然，我们也可以在图 1 的右边加一堵墙，再加一根弹簧将 $m_2$ 和右边的墙连接起来，得到的同样是二自由度简谐振子。
图 2：另一种二自由度简谐振子的模型。图中方块是固定的墙面，只有粉色的圆球有质量，其它构件都是轻质的。红色和蓝色分别表示只能沿着水平或垂直方向移动的滑杆，粉色圆球被固定在这两个滑杆中。两个滑杆分别连接到图示的两根弹簧上。
图 2 所示的模型也是一个二自由度简谐振子，两个参数分别是圆球的横位移和纵位移。
一般地，二自由度简谐振子的运动方程写为
\begin{equation}
\left\{\begin{aligned}
\ddot{x}_1 &= k_{11}x_1+k_{12}x_2\\
\ddot{x}_2 &= k_{21}x_1+k_{22}x_2~.
\end{aligned}\right.
\end{equation}
二自由度简谐振子的方程解法
类比简谐振子（经典力学）中的解法，我们可以先猜想式 2 的一些特解。
最简单的情况是，两个参数都做相位相同的单自由度简谐振动，只是振幅不一样，即 $Ax_1(t) = x_2(t)$，其中 $A$ 是一个常数。于是问题就化为一个单自由度简谐运动。
此时 ${\ddot{x}_1}/{\ddot{x}_2}=A$，代入式 2 得
\begin{equation}
\frac{k_{11}+k_{12}A}{k_{21}+k_{22}A}=A~,
\end{equation}
即
\begin{equation}
k_{22}A^2+(k_{21}-k_{12})A-k_{11} = 0~.
\end{equation}
因此 $A$ 是确定的：
\begin{equation}
A = \frac{(k_{12}-k_{21})\pm\sqrt{(k_{12}-k_{21})^2 + 4k_{22}k_{11}}}{2k_{22}}~.
\end{equation}
这样能得到两个倍率 $A$，记为 $A_1$ 和 $A_2$。在继续解方程之前，我举一个例子来方便你体会两个倍率的意义：
图 3：一个简单的二自由度简谐振子模型。
图 3 所示的简谐振子体系高度对称，因此很容易发现两种特殊情况：一是两个滑块之间的距离恒为中间弹簧的原长，作完全相同的单自由度简谐运动，此时中间弹簧等同于不存在，这个情况对应 $A=1$；二是 $A=-1$，两个滑块作完全对称的运动。第二种情况比第一种情况的频率高一些，因为每个滑块都额外受中间弹簧的力了。
得到 $A_i$ 以后，式 2 化为
\begin{equation}
\ddot{x}_1 = (k_{11}+A_ik_{12})x_1~,
\end{equation}
从而得
特解
\begin{equation}
\left\{\begin{aligned}
x_1(t) &= C_i \cos\left(\sqrt{-k_{11}-A_ik_{12}}t+\phi_i\right) \\
x_2(t) &= A_iC_i \cos\left(\sqrt{-k_{11}-A_ik_{12}}t+\phi_i\right) ~.
\end{aligned}\right.
\end{equation}
将各 $A_i$ 对应的特解组合起来，就能得到通解：
\begin{equation}
\left\{\begin{aligned}
x_1(t) &= C_1 \cos\left(\sqrt{-k_{11}-A_1k_{12}}t+\phi_1\right) +C_2 \cos\left(\sqrt{-k_{11}-A_2k_{12}}t+\phi_2\right) \\
x_2(t) &= A_1C_1 \cos\left(\sqrt{-k_{11}-A_1k_{12}}t+\phi_1\right) +A_2C_2 \cos\left(\sqrt{-k_{11}-A_2k_{12}}t+\phi_2\right) ~.
\end{aligned}\right.
\end{equation}
其中 $C_1, C_2, \phi_1, \phi_2$ 都是待定常数。通过给定两组参数的初值，如初始位置和初始速度，即可得到满足初值的特解。
模式
上面的解答中，我们通过考虑两个参数成正比的特殊情况得到两个特解，用这两个特解组合出了一般的通解。这两个特解就叫做模式（mode）。如果能从题目中直接找到模式，那么就可以直接给出通解。
2. 多自由度简谐运动
我们可以把有 $n$ 个自由度的简谐运动方程写为
\begin{equation}
\ddot{ \boldsymbol{\mathbf{x}} } = \boldsymbol{\mathbf{K}} \boldsymbol{\mathbf{x}} ~,
\end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} = \begin{pmatrix}x_1, x_2, \cdots, x_n\end{pmatrix} ^{\mathrm{T}} $ 为列矩阵，$ \boldsymbol{\mathbf{K}} $ 为一个 $n$ 阶方阵。
类似找模式的思路，我们可以设式 9 有特解
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{x}} (t) = \boldsymbol{\mathbf{v}} \cos\left(\omega t + \phi\right) ~,
\end{equation}
即 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 的各个分量之间的比值不变，其中 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 的各分量都是常数。将
式 10 代入
式 9 有
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{v}} = -\omega^2 \boldsymbol{\mathbf{K}} \boldsymbol{\mathbf{v}} ~.
\end{equation}
也就是说，$ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 是 $ \boldsymbol{\mathbf{K}} $ 的一个
本征向量。
每个本征向量能解出式 9 的一个特解，即模式（式 9 ），而通解则是这些模式的线性组合。具体解法请参考例 1 ：
例 1 三自由度简谐振子
考虑简谐振子方程
\begin{equation}
\left\{\begin{aligned}
\ddot{x}_1 &= -2x_1+x_2-x_3\\
\ddot{x}_2 &= -x_2-x_3\\
\ddot{x}_3 &= -3x_3~.
\end{aligned}\right.
\end{equation}
记
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{x}} = \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix} ~, \qquad \boldsymbol{\mathbf{K}} = \begin{pmatrix}-2&1&-1\\
0&-1&-1\\
0&0&-3\end{pmatrix} ~.
\end{equation}
则方程化为
式 9 的形式。
求出 $ \boldsymbol{\mathbf{K}} $ 的三个本征向量：
\begin{equation}
\left\{\begin{aligned}
\boldsymbol{\mathbf{v}} _1 &= \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} \qquad(\text{本征值为}-2)\\
\boldsymbol{\mathbf{v}} _2 &= \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix} \qquad(\text{本征值为}-1)\\
\boldsymbol{\mathbf{v}} _3 &= \begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix} \qquad(\text{本征值为}-3)~.
\end{aligned}\right.
\end{equation}
把
式 14 中的三个 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _i$ 分别代入
式 11 的 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $，得到三个模式
\begin{equation}
\left\{\begin{aligned}
\boldsymbol{\mathbf{x}} _1(t) &= \boldsymbol{\mathbf{v}} _1 \cos\left(\sqrt{2} t + \phi_1\right) \\
\boldsymbol{\mathbf{x}} _2(t) &= \boldsymbol{\mathbf{v}} _2 \cos\left(t + \phi_2\right) \\
\boldsymbol{\mathbf{x}} _3(t) &= \boldsymbol{\mathbf{v}} _3 \cos\left(\sqrt{3} t + \phi_3\right) ~.\\
\end{aligned}\right.
\end{equation}
其中各 $\phi_i$ 为待定常数。
通解就是
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{x}} (t) = C_1 \boldsymbol{\mathbf{x}} _1(t)+C_2 \boldsymbol{\mathbf{x}} _2(t)+C_3 \boldsymbol{\mathbf{x}} _3(t)~,
\end{equation}
其中各 $C_i$ 为待定常数。
