二维随机游走

贡献者： addis

预备知识　中心极限定理

　　若平面上某点从坐标原点出发，每一步沿随机方向走动一个随机步长，步长的分布函数为 $f (r)$ ， $N (N ≫ 1)$ 步之后，该点的位置分布可以用圆高斯分布表示

\begin{matrix} (1) & P (X, Y) = \frac{a}{π} e^{- a (X^{2} + Y^{2})} 或 P (R) = 2 a R e^{- a R^{2}} . \end{matrix}

其中

\begin{matrix} (2) & a = \frac{1}{N ⟨ r^{2} ⟩}, ⟨ r^{2} ⟩ = \int_{0}^{\infty} r^{2} f (r) d r . \end{matrix}

由分布函数可得，随机点最终离原点的距离的平均值和方均根为

\begin{matrix} (3) & ⟨ R ⟩ = \frac{\sqrt{π}}{2} \sqrt{N ⟨ r^{2} ⟩}, \sqrt{⟨ R^{2} ⟩} = \sqrt{N ⟨ r^{2} ⟩} . \end{matrix}

1. 推导

　　我们先来分析随机点的 $x$ 坐标。假设每一步在 $x$ 方向投影的长度为 $x_{i}$ ， $N$ 步以后，该点的 $x$ 坐标为 $X$ ，则

\begin{matrix} (4) & ⟨ x^{2} ⟩ = \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{2 π} (r \cos θ)^{2} \cdot f (r) d r \cdot \frac{1}{2 π} d θ = \frac{1}{2} ⟨ r^{2} ⟩ . \end{matrix}

X

满足高斯分布，且

\begin{matrix} (5) & ⟨ X^{2} ⟩ = N ⟨ x^{2} ⟩ = \frac{1}{2} N ⟨ r^{2} ⟩ . \end{matrix}

对

y

轴分析也有类似的结果，将

P (X, Y)

分布归一化后，可以得到式 1 。我们由式 1 求

⟨ X^{2} ⟩

，得

\begin{matrix} (6) & ⟨ X^{2} ⟩ = \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} X^{2} P (X, Y) d X d Y = \int_{0}^{\infty} \sqrt{\frac{a}{π}} X^{2} e^{- a X^{2}} d X = \frac{1}{2 a}, \end{matrix}

对比式 5 和式 6 即可得到式 2 。证毕。