中心极限定理

贡献者： addis

预备知识　高斯分布

　　若 $N$ 个独立的连续随机变量 $x_{i}$ 的平均值为 $μ$ ，方差为 $σ^{2}$ ，令 $X = \sum_{i}^{N} x_{i}$ ，当 $N \to \infty$ 时， $X$ 满足高斯分布，平均值为

\begin{matrix} (1) & ⟨ X ⟩ = N μ, \end{matrix}

且方差为

\begin{matrix} (2) & ⟨ X^{2} ⟩ = N σ^{2}, \end{matrix}

即分布函数趋近于

\begin{matrix} (3) & f (X) = N (N μ, N σ^{2}) = \frac{1}{σ \sqrt{2 π N}} \exp [- \frac{(X - N μ)^{2}}{2 N σ^{2}}] . \end{matrix}

证明略。

　　令平均值 $\bar{x} = X / N$ ，那么 $N \to \infty$ 时 $\bar{x} \sim N (μ, σ^{2} / N)$ （例 1 ）。